Forschungsbericht 2015 - Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften

Hysterese

Autoren
Tikhomirov, Sergey
Abteilungen
Musterbildung, Energielandschaften und Skalierungsgesetze (Felix Otto)
Zusammenfassung
Hysterese ist ein in der Natur häufig auftretendes Kontrollprinzip, welches sich mathematisch formulieren lässt. Diese Formulierung wird an einigen aus der Natur motivierten Beispielen diskutiert. Dabei wird eine Unterteilung in einfache (transversale) und schwierige (nicht-transversale) Fälle vorgenommen. Die Lösung für den transversalen Fall wird beschrieben, der nicht-transversale Fall wird teilweise gelöst und die noch offenen Fragen für diesen Fall werden diskutiert.

Angenommen, die Temperatur in einem Raum soll mithilfe einer Heizung auf konstant 20°C gehalten werden. Eine naheliegende Strategie bestünde darin, die Heizung einzuschalten, sobald die Raumtemperatur unter 20°C gefallen ist, und auszuschalten, sobald die Temperatur über 20°C liegt. Diese Strategie führt jedoch zu dem Problem, dass die Heizung sich beim Erreichen der Zieltemperatur sofort abschaltet, wodurch die Abkühlung beginnt und die Heizung unmittelbar wieder eingeschaltet werden muss. In der Konsequenz wird die Heizung sehr häufig an- und ausgeschaltet, was diese Strategie in der Praxis sehr schnell an ihre Grenzen führt.

Üblicherweise wird die Strategie daher dahingehend modifiziert, dass die Heizung bis zum Erreichen von 21°C angeschaltet bleibt, dann abgeschaltet wird, sodass die Temperatur sinkt. Sobald die Temperatur 19°C unterschreitet, wird die Heizung erneut eingeschaltet. Beobachtet man nur die Raumtemperatur, kann man den Zustand der Heizung nur erkennen, wenn man neben der aktuellen Temperatur auch die zeitliche Entwicklung kennt. Solche Formen der Kontrolle werden in der Mathematik (abgeleitet aus dem griechischen „ύστέρησις“ – „hinterherhinken“) Hysterese genannt. 

Das grundsätzliche Prinzip der Hysterese lässt sich wie folgt beschreiben: Gegeben sind eine zeitabhängige Inputfunktion und zwei Schranken α<β. Das System wechselt in den Zustand „Aus“, sobald die Inputfunktion den Wert β erreicht (oder übersteigt), und sobald die Inputfunktion den Wert α erreicht (oder unterschreitet), wechselt das System in den Zustand „An“ (siehe Abb. 1). Im oben genannten Beispiel ist die zeitabhängige Inputfunktion die Raumtemperatur, die Schranken sind α=19°C und β=21°C.

original
Original 1508157554
Abb. 1: Prinzip der Hysterese
Abb. 1: Prinzip der Hysterese

Hysterese ist ein in der Natur oft aufzufindendes Prinzip der Selbstorganisation, welches hier am Beispiel einer Bakterienkultur beispielhaft vorgeführt werden soll. Betrachtet man die Kultur in einem nährstofffreien Trägermedium in einer Petrischale und fügt in der Mitte einen Tropfen einer Nährstofflösung hinzu, so wird die Nahrung, die die Bakterienkultur zum Wachstum braucht, nach und nach vom Zentrum zum Rand ausdiffundieren. Die Bakterien nehmen die Nahrung auf und wachsen. Hoppensteadt und Jäger [1] haben diese Versuche durchgeführt, und es zeigt sich, dass die Bakteriendichte im Medium, während die Nahrung verbraucht wird, einem bestimmten Muster folgt. Im Zentrum der Petrischale entsteht eine große zentrale Scheibe mit hoher Bakteriendichte, nach außen folgen alternierende Ringe mit abwechselnd hoher und niedriger Dichte, was zunächst ungewöhnlich erscheint.

Hoppensteadt und Jäger geben auch eine mögliche Erklärung für dieses Phänomen. Neben der Verfügbarkeit von Nährstoffen ist für das Wachstum auch die „Sauberkeit“ der Umgebung – gemessen durch den pH-Wert – ein  wichtiger Faktor. Durch ihr Wachstum verschlechtern die Bakterien diesen pH-Wert und somit ihre Wachstumsbedingungen. Die Wachstumsrate hängt also hysteretisch von der Umgebung ab (siehe Abb. 2b). Die numerische Simulation dieses Modells führt zu der Bakteriendichte, die in Abbildung 2a dargestellt ist und dem Experiment gut entspricht.

original
Original 1508157555
Abb. 2: (a) Bakteriendichte in einer Petrischale in der numerischen Simulation
(b) Wachstumsrate der Bakterien in Abhängigkeit von Umweltfaktoren
Abb. 2: (a) Bakteriendichte in einer Petrischale in der numerischen Simulation
(b) Wachstumsrate der Bakterien in Abhängigkeit von Umweltfaktoren

Ein etwas einfacher zu beschreibendes Beispiel, welches jedoch ähnliche Phänomene zeigt, ist die folgende Modifikation des Eingangsbeispiels. Um eine Metallstange auf einer Temperatur von ungefähr 20°C zu halten, wird auf jedem Punkt der Stange ein Heiz-/Kühlelement montiert, welches den Punkt bis zu einer Temperatur von 21°C erhitzt, beim Erreichen der Temperatur in den Kühlmodus wechselt, bis die Temperatur 19°C erreicht, um dann erneut mit dem Erhitzen nach obiger Regel zu beginnen. Dies stellt natürlich eine Idealisierung der Realität dar, da in Wirklichkeit nur endlich viele Heiz-/Kühlelemente zum Einsatz kommen können.

Solche verbalen Beschreibungen eines Modells können mathematisch in die Sprache von Differentialgleichungen übersetzt werden und für die beiden letztgenannten Probleme ähneln sich die entstehenden Differentialgleichungen sehr. Die erste Frage, die sich bei solchen Modellen aufdrängt, ist die, ob die (verbale) Beschreibung konsistent und vollständig ist. Mathematisch übersetzt heißt das, ob die abgeleiteten Differentialgleichungen eine eindeutige Lösung haben. Solche Fragestellungen sind teilweise sehr schwer zu beantworten, wie man beispielsweise daran erkennen kann, dass eines der Millennium-Probleme der Mathematik der Beweis der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen – einem speziellen System von Differentialgleichungen, die die Bewegung einer inkompressiblen Flüssigkeit beschreiben – ist (siehe [2]).

Beitrag des MPI für Mathematik in den Naturwissenschaften

Betrachtet man die oben genannten Probleme als hysteretisches System, so gibt es für jeden Punkt im Raum (z. B. auf der Stange oder in der Petrischale) eine Inputfunktion. Das Verhalten dieses Systems hängt vom jeweiligen Zustand ab, der durch den Graphen, der den Input gegen die Position im Raum plottet, beschrieben wird. Solch ein Zustand heißt „transversal“, wenn in jedem Punkt, an dem der Graph den Wert einer der Schranken α oder β annimmt, diese Schranke auch überschritten wird (siehe Abb. 3a). Liegt die Inputfunktion an einem Punkt auf einer der Schranken und in allen Punkten nahe an diesem innerhalb der Schranken, dann heißt der Zustand „nicht-transversal“ (siehe Abb. 3b). Typischerweise ist der Startzustand transversal.

original
Original 1508157555
Abb. 3: Zustand eines hysteretischen Systems:
(a) transversal
(b) nicht-transversal
Abb. 3: Zustand eines hysteretischen Systems:
(a) transversal
(b) nicht-transversal

Für den transversalen Fall konnte am MPI in mehreren Arbeiten [3-5] die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung bewiesen werden, die gültig bleibt bis das System in einen nicht-transversalen Zustand übergeht. Darüber hinaus wird in diesen Arbeiten die räumliche Verteilung der An- und Aus-Regionen der Hysterese bestimmt. Für den Fall der Bakterienkultur in der Petrischale kann mit diesen Ergebnissen das Verhalten innerhalb der zentralen Scheibe der hohen Bakteriendichte beschrieben und erklärt werden.

Auch wenn der Startzustand meistens transversal ist, wird für gewöhnlich das System nach einiger Zeit in einen nicht-transversalen Zustand übergehen. Beim oben genannten Problem der Bakterienkultur ist dies z. B. der Zeitpunkt, ab dem die Ringe entstehen. Dieser Zustand ist schwieriger zu behandeln.

Bereits der einfachere Fall der Metallstange führt hier zu Problemen: Angenommen, die Heiz-/Kühlelemente hätten eine sehr kleine räumlich Ausdehnung h>0, der Startzustand (d. h. die räumliche Verteilung der Starttemperatur) ist nicht-transversal und alle Heiz-/Kühlelemente heizen. Nach einiger Zeit wird sich das System so entwickeln, dass in der Nähe des Punktes, an dem die Temperatur die Schranke berührt hat, jedes zweite Element heizt und die anderen kühlen. Dabei wird die Temperatur am Berührpunkt weiter langsam absinken und weiter außerhalb wird sie weiterhin langsam ansteigen. Insgesamt lässt sich das Verhalten wie zwei Hügel beschreiben, die langsam von der Mitte nach außen wandern (siehe Abb. 4a).

Ist die Größe der Heiz-/Kühlsysteme unbekannt, ist es sehr schwer, den Zustand der Elemente (heizen oder kühlen) vorauszusagen, da dazu bekannt sein müsste, ob eine gerade oder ungerade Anzahl von Elementen zwischen dem Berührpunkt in der Mitte und dem betrachteten Element liegen. Dies deutet darauf hin, dass die Beschreibung des Problems unvollständig ist. Die oben genannte Idealisierung mit Heiz-/Kühlelementen für jeden Punkt ist darüber hinaus inkonsistent, denn geht h gegen 0, dann kann der Graph für die Zustände der einzelnen Elemente nicht mehr gezeichnet werden. Diese heuristisch einleuchtende Konsequenz aus der Beschreibung des Systems mit räumlich ausgedehnten Heiz-/Kühlelementen beruht mathematisch auf einigen tiefen Sätzen und Einsichten, die weiter auszuführen hier zu weit führen würde.

original
Original 1508157555
Abb. 4: Zustand der Heiz-/Kühlelemente, rot=heizen, blau=kühlen:
(a) Metallstange
(b) quadratisches Gitter
(c) hexagonales Gitter
Abb. 4: Zustand der Heiz-/Kühlelemente, rot=heizen, blau=kühlen:
(a) Metallstange
(b) quadratisches Gitter
(c) hexagonales Gitter

Wenn statt einer Stange eine Scheibe untersucht wird, wird die Situation sogar noch verzwickter. Wie im Fall der Stange entwickelt sich der Zustand so, dass die Hälfte der Elemente kühlt, während die andere Hälfte heizt. Das entstehende Muster hängt dabei von der gewählten Form der Heiz-/Kühlsysteme ab (siehe Abb. 4b und 4c).

Die Inkonsistenz des Problems führt zu der Frage, wie die Beschreibung des Problems anzupassen ist, um die Inkonsistenz zu beseitigen. Im Falle der Metallstange – oder allgemeiner von Heiz-/und Kühlelementen – scheint die Ergänzung der Größe und Form der Heiz-/Kühlelemente in der Beschreibung ein vielversprechender Ansatz. Ob und wie diese Modifikationen geeignet sind, die Inkonsistenz des Problems aufzulösen, bleibt Gegenstand weiterer Forschung. Im Fall der Bakterien in der Petrischale ist die Analyse des nicht-transversalen Falles zwar noch nicht abgeschlossen, aber auch hier ist zu erwarten, dass die bisherige Beschreibung inkonsistent ist. Allerdings könnte es in diesem Fall sinnvoller sein, unterschiedliche Schranken für einzelne Bakterien einzuführen, um diese Inkonsistenz aufzulösen. Auch diese Thematik wird weiter erforscht werden.

Literaturhinweise

1.
Hoppensteadt, F. C.; Jaeger, W.
Pattern formation by bacteria
Lecture Notes in Biomathematics 38, 68-81 (1980). DOI: 10.1007/978-3-642-61850-5_7
2.
Fefferman, C. L.
Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation
In: The Millennium Prize Problems, pp. 57-67 (Eds. Carlson, J.; Jaffe, A.; Wiles, A.). Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA; American Mathematical Society, Providence, RI, (2006), xviii+165 pp. ISBN: 0-8218-3679-X
3.
Gurevich, P.; Tikhomirov, S.
Uniqueness of transverse solutions for reaction-diffusion equations with spatially distributed hysteresis
Nonlinear Analysis 75, 6610-6619 (2012). DOI: 10.1016/j.na.2012.08.003
4.
Gurevich, P.; Shamin, R.; Tikhomirov, S.
Reaction-diffusion equations with spatially distributed hysteresis
SIAM Journal on Mathematical Analysis 45, 1328-1355 (2013). DOI: 10.1137/120879889
5.
Gurevich, P.; Tikhomirov, S.
Systems of reaction-diffusion equations with spatially distributed hysteresis
Mathematica Bohemica 139, 239-257 (2014)
Zur Redakteursansicht