Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften

Die Kopplung von zwei Ansätzen der Spieltheorie kann die Entwicklung moralischer Normen erklären

Forscher untersuchen historische Entwicklungen des Periodensystems der Elemente

Industrieller Fisch- und Walfang haben die großen Tiere des Meeres dezimiert

Die maritime Biomasse war über 23 Zehnerpotenzen fast gleich verteilt – bis Fischerei und Walfang das Gefüge durcheinanderbrachten

Mathematische Metriken helfen, Instabilitäten an Märkten offenzulegen

Selbstlernende Algorithmen sind dabei, unsere Gesellschaft gehörig umzukrempeln. Doch allzu oft verstehen ihre Entwickler selbst nicht genau, wie sie funktionieren. Mit grundlegenden Theorien zum maschinellen Lernen wollen Forschende des Max-Planck-Instituts für Mathematik in den Naturwissenschaften nun Abhilfe schaffen.

Politische Debatten geraten heute oft zur verbalen Keilerei - vor allem in sozialen Medien. Um dem entgegenzuwirken, untersuchen Eckehard Olbrich und Sven Banisch am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften sowie Philipp Lorenz-Spreen am Max-Planck-Institut für Bildungsforschung, wie es zu Polarisierung kommt und wie Meinungsbildung in Gruppen funktioniert.

Viele praktische Probleme lassen sich auf das Lösen von polynomiellen Gleichungssystemen zurückführen. In diesem Bericht wird eine solche Anwendung vorgestellt. Ausgehend von diesem Beispiel wird diskutiert, was grundlegende Strategien sind um Lösungen zu berechnen und was es in diesem Kontext eigentlich konkret heißt, ein Gleichungssystem zu lösen. Dabei soll herausgearbeitet werden, dass anwendungsbezogene und theoretische Fragestellungen sich nicht gegenseitig ausschließen, sondern einander ergänzen.

Deep Learning ist eine erfolgreiche Methode des maschinellen Lernens. Wir entwickeln eine mathematische Theorie, die dazu beiträgt, dass Deep Learning breiter anwendbar, effizienter, interpretierbarer, sicherer und zuverlässiger wird. Konkret untersuchen wir das Zusammenspiel zwischen a) der Darstellungskraft künstlicher neuronaler Netze als parametrische Sätze von Hypothesen, b) den Eigenschaften und Konsequenzen der Parameteroptimierungsverfahren, welche zur Auswahl einer auf Daten basierenden Hypothese verwendet werden und c) der Leistung trainierter Netze zur Testzeit auf neue Daten.

Inverse Probleme sind allgegenwärtig in der Natur, in medizinischen, ingenieur- und naturwissenschaftlichen Messverfahren und auch in unseren alltäglichen Erfahrungen. In all diesen Problemen ist es das Ziel, durch indirekte Messungen auf Eigenschaften des zugrundeliegenden Systems zu schließen. Da diese Probleme in einem mathematisch präzisen Sinn "schlecht gestellt" sind, erweist sich dies im Allgemeinen als sehr schwer. In diesem Artikel werden einige dieser Herausforderungen anhand von Beispielen, die am MPI MiS untersucht werden, vorgestellt.

Heutige Gesellschaften stehen vor schwierigen Herausforderungen, die demokratisch getragene Entscheidungen verlangen. Meinungen bezüglich verschiedener Themen - etwa zum Klimawandel oder zum Umgang mit der gestiegenen Zahl an Flüchtlingen - gehen allerdings oft auseinander. Am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften untersuchen wir im Rahmen des Europäischen Projektes "Odycceus" grundlegende Mechanismen der Dynamik von politischen Meinungen, um soziale, kulturelle und themenspezifische Umstände zu beleuchten, die Prozesse politischer Meinungsbildung beeinflussen. 

Tensoren sind höher-dimensionale Matrizen. Sie erlauben die Speicherung und statistische Analyse grosser Datenmengen. Die Zerlegung in Tensoren vom Rang 1 ermöglicht es, vordergründig nicht erkennbare Strukturen und Zusammenhänge aufzudecken. Die Geometrie der Tensoren spielt dabei eine wichtige Rolle.