Forschungsbericht 2010 - Max-Planck-Institut für Physik

Effektive Feldtheorien in der Elementarteilchenphysik

Autoren
Hoang, André
Abteilungen
Zusammenfassung
Effektive Feldtheorien sind Grundwerkzeuge für Vorhersagen in der Elementarteilchenphysik. Beim gerade anlaufenden Large Hadron Collider sind effektive Feldtheorien wichtig, um die Effekte der starken Wechselwirkung genau zu beschreiben und um die Suche nach neuer Physik zu ermöglichen. Im vorliegenden Übersichtsartikel werden die Prinzipien von effektiven Feldtheorien vorgestellt und die wichtigesten effektiven Feldtheorien in der Elementarteilchenphysik erklärt. Am Max-Planck-Institut für Physik wurden viele Beiträge zur Entwicklung und zur Anwendung von effektiven Feldtheorien gemacht.

Einführung

Es ist ein wohlbekanntes Prinzip in der Physik, dass die Dynamik von Systemen bei niedrigen Energien oder großen Abständen nicht direkt von der Dynamik bei sehr kleinen Abständen oder großen Energien abzuhängen scheint. So lassen sich Autos mithilfe von Gesetzen aus der klassischen Mechanik bauen (oder fahren), ohne dass man dafür die Prinzipien der Quantenmechanik bemühen müsste. In der Physik benutzt man eine Lagrangefunktion, um ein System vollständig zu beschreiben. Alle Bewegungsgleichungen lassen sich aus ihr ableiten. Um also eine Lagrangefunktion für ein Niederenergiesystem zu formulieren, braucht man dafür lediglich die experimentell sichtbaren relevanten Freiheitsgrade, und die Dynamik wird vollständig durch die Wechselwirkungsterme beschrieben, die in der Lagrangefunktion enthalten sind. Auf der anderen Seite ist es aber auch klar, dass die Quantenmechanik für den Autobau sehr wohl relevant ist, denn die Materialkonstanten werden offensichtlich durch sie bestimmt. In der Lagrangefunktion eines Niederenergiesystems sind es die Koeffizienten der Wechselwirkungsterme, die den Materialkonstanten entsprechen. Also bestimmt die Dynamik bei sehr kleinen Abständen die Kopplungsstärke der Wechselwirkungsterme. Auf der anderen Seite ist es aber auch möglich, die Materialkonstanten oder Kopplungen einfach nur aus Experimenten zu bestimmen. Will man die Genauigkeit der Beschreibung erhöhen, kann es sein, dass man weitere kleine Effekte berücksichtigen und somit mehr Materialkonstanten bzw. Kopplungsterme einführen muss.

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Die Schrödinger-Gleichung. Es werden die in der Elementarteilchen üblichen Einheiten mit ħ=c=1 benutzt. Das bedeutet, dass dimensionsbehaftete Größen in Einheiten von der Energie gemessen werden können. In der Elementarteilchenphysik benutzt man dabei üblicherweise die Einheit Elektronenvolt (eV).
Die Schrödinger-Gleichung. Es werden die in der Elementarteilchen üblichen Einheiten mit ħ=c=1 benutzt. Das bedeutet, dass dimensionsbehaftete Größen in Einheiten von der Energie gemessen werden können. In der Elementarteilchenphysik benutzt man dabei üblicherweise die Einheit Elektronenvolt (eV).

Ein allgemein bekanntes konkreteres Beispiel aus der Quantentheorie ist das Wasserstoffatom. Im nichtrelativistischen Grenzfall lassen sich die Energieniveaus mithilfe der Schrödinger-Gleichung (Abb. 1) berechnen, welche die Dynamik eines Elektrons im Coulombfeld des Protons beschreibt. An dieser Stelle braucht man lediglich die Elektronmasse me und die Feinstrukturkonstante α und man erhält das bekannte Balmerspektrum mit En = meα2/2n2. Diese Beschreibung ist genau bis auf Korrekturen der Größenordnung α2. Um eine auch in dieser Ordnung korrekte Beschreibung zu erreichen, muss man relativistische Korrekturen und den Elektronspin als zusätzliche Operatoren in die Schrödinger-Gleichung einbauen. Will man auch die Hyperfeinstruktur beschreiben, so muss auch das magnetische Moment des Protons berücksichtigt werden. Dieses Verfahren lässt sich im Prinzip beliebig weiterführen. Um eine bestimmte Genauigkeit zu erhalten, braucht man aber immer nur eine endliche Zahl an Wechselwirkungstermen zu berücksichtigen.

Die gerade beschriebene Wasserstofftheorie ist ein einfaches Beispiel für eine sogenannte effektive Feldtheorie. Effektive Feldtheorien sind quantenfeldtheoretische Modelle, die eine näherungsweise Beschreibung eines Systems liefern. Nachdem man die kleinen Entwicklungsparameter in einem System ausfindig gemacht und eine bestimmte Ordnung der Beschreibung festgeschrieben hat, lässt sich eine Lagrangedichte formulieren, die feldtheoretische Verallgemeinerung der oben erwähnten Lagrangefunktion. Effektive Feldtheorien sind gewissermaßen Taylorentwicklungen von fundamentalen Theorien. Analog zu einer Taylorentwicklung ist der Gültigkeitsbereich einer effektiven Theorie auf einen bestimmten Niederenergiebereich eingeschränkt. In der modernen Elementarteilchenphysik gibt es eine Reihe von effektiven Feldtheorien, die bei verschiedenen Prozessen angewendet werden. Diese beinhalten die Wechselwirkungen von Hadronen und Leptonen bei niedrigen Energien bis hin zu hochenergetischen Jets, welche bei Beschleunigerexperimenten wie dem Large-Hadron-Collider (LHC) am CERN in Genf beobachtet werden. In vielen Fällen sind effektive Feldtheorien die einzige Möglichkeit, um genaue quantitative Vorhersagen zu machen, bei denen Effekte der starken Wechselwirkung auftreten. Sie sind deshalb wesentlich bei der Suche nach neuer Physik. In diesem Artikel werden die elementaren Prinzipien dargestellt, die bei der Konstruktion von effektiven Feldtheorien eingehen und einige der wichtigsten effektive Feldtheorien vorgestellt, die in der modernen Elementarteilchen Anwendung finden.

Konstruktion von effektiven Feldtheorien

Eine effektive Feldtheorie ist bestimmt durch die Wahl der Quantenfelder φ1, φ2, ... und die Form der Lagrangedichte L(φ1, φ2, ...), die aus den Quantenfeldern zusammengesetzt ist. Die Quantenfelder beschreiben die Freiheitsgrade für welche die Feldtheorie formuliert werden soll. Im Allgemeinen startet die Konstruktion also mit der Auswahl der Freiheitsgrade, die durch die Quantenfelder beschrieben werden sollen. In vielen Fällen ist diese Wahl relativ einfach und man nimmt hierfür Teilchen mit Massen unterhalb einer bestimmten Energieskala Λ. Schwerere Teilchen werden nicht berücksichtigt. Deren Effekte sind ausintegriert, beeinflussen aber über Quanteneffekte die Wechselwirkungen der leichten Quantenfelder.

Hat man die Quantenfelder φ12, ... identifiziert, konstruiert man die Lagrangedichte aus dem allgemeinsten Polynom, das man aus den Quantenfeldern konstruieren kann. Die Produkte von Quantenfelder, die in dem Polynom vorkommen, nennt man Feldoperatoren. Dabei ist wichtig, dass die Lagrangedichte unter bestimmten Symmetrietransformationen invariant ist, wie der Poincaré-Symmetrie oder z. B. einer Eichsymmetrie. Dadurch wird die Zahl der erlaubten Feldoperatoren eingeschränkt und unter Umständen eine Relation zwischen verschiedenen Kopplungen hergestellt. Die absoluten Werte der Kopplungen werden dadurch aber nicht festgelegt. Da die Wirkung, das Zeit-Raum-Integral der Lagrangedichte S = ∫ d4 x L (φ12, ...) eine Zahl ist, hat die Lagrangedichte die Massendimension 4. Daraus lässt sich ableiten, dass bosonische Felder die Massendimension 1 und fermionische Felder die Massendimension 3/2 besitzen. Dadurch hat jeder Feldoperator ebenfalls eine Massendimension und man kann die Lagrangedichte in der Form

L = L≤4 + L5 +L6

schreiben, wobei L≤4 alle Feldoperatoren mit Massendimension ≤ 4 und Lk alle Feldoperatoren mit Massendimension k enthält. Da die Wirkung dimensionslos ist, haben die Feldoperatoren in Lk>4 Kopplungen mit der Massendimension 4–k ≤4 also die wichtigsten, während die Terme in Lk>4 um so kleinere Effekte haben, je größer der Wert von k ist. Diese Aufteilung entspricht einem Entwicklungsschema. Die kleinen Entwicklungsparameter sind dabei das Verhältnis von typischen Niederenergieskalen, welche die effektive Theorie beschreibt, und von Hochenergieskalen, die aus der Theorie ausintegriert wurden. Häufig gibt es in einer effektiven Theorie mehrere dieser Entwicklungsparameter. Die Festlegung der Entwicklungsparameter und gegebenenfalls die Relation dieser zueinander nennt man Power-Counting. Ist man also an einer bestimmten Genauigkeit interessiert, nimmt man entsprechend nur eine endliche Anzahl von Termen aus der effektiven Lagrangedichte mit. Ist die fundamentale Theorie eine Feldtheorie, die sich störungstheoretisch behandeln lässt, kann man die Kopplungen der effektiven Theorie mit der sogenannten Matching-Prozedur berechnen.

Renormierungsgruppengleichungen

Bei der Berechnung von Quantenkorrekturen in Feldtheorien führen die auftretenden Integrationen über die virtuellen Zustände im Allgemeinen zu Divergenzen bei großen Impulsüberträgen. In effektiven Feldtheorien lassen sich diese Divergenzen in jeder Ordnung im Power-Counting in eindeutiger Weise in die Kopplungen absorbieren. Erst diese renormierten Kopplungen haben physikalische Bedeutung. Technisch führt man diese Renormierungsprozedur im Rahmen eines Regularisierungsverfahrens durch, das einen Impulsabschneideparameter μ einführt, oberhalb dessen keine Integrationen mehr ausgeführt werden. Daraus resultieren die sogenannten Renormierungsgruppengleichungen, Differentialgleichungen welche die Änderung der Kopplungen mit μ beschreiben. Interessanterweise ist das mathematische Verhalten einer effektiven Feldtheorie und der dazugehörigen fundamentalen Feldtheorie bei hohen Energien sehr verschieden. Deshalb sind auch die Renormierungsgruppengleichungen in beiden Theorien im Allgemeinen sehr verschieden. Dadurch ist es möglich, effektive Theorien zu benutzen, um große logarithmische Beiträge zu berechnen, die in der fundamentalen Theorie in Quantenkorrekturen höherer Ordnungen auftreten.

Speziell in der Elementarteilchenphysik an Beschleunigerexperimenten ist die Summation von großen logarithmischen Korrekturen in verschiedenen Prozessen heute eine der Hauptanwendungen von modernen effektiven Feldtheorien. Bei der Suche von neuen bisher nicht entdeckten Elementarteilchen, die naturgemäß sehr große Massen besitzen, benutzt man an Beschleunigern immer Prozesse, bei denen auch sehr kleine Skalen vorkommen. Die Aufsummation von großen logarithmischen Quantenkorrekturen ist dabei für die Berechnung solcher Prozesse unerlässlich. Im Folgenden werden nun die wichtigsten effektiven Feldtheorien besprochen, die in der modernen Elementarteilchenphysik Verwendung finden.

Das Standardmodell

Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik ist eine effektive Feldtheorie, deren Lagrangedichte nur Feldoperatoren mit Dimension ≤ 4 besitzt. Die im Standardmodell beschriebenen Materie-Elementarteilchen sind sechs verschiedene Leptonen (das Elektron e, das Myon μ und das Tauon τ mit den jeweils dazugehörigen Neutrinos νe, νμ, ντ) und sechs verschiedene Quarks (Up: u, Down: d, Charm: c, Strange: s, Top: t und Bottom: b). Die Quarks werden oft auch „Flavours“ genannt. Das Standardmodell beschreibt die starke, schwache und elektromagnetische Wechselwirkung der Materieteilchen. Die Struktur der Wechselwirkungen wird durch eine Eichsymmetriegruppe der Form SU(3)×SU(2)×U(1) festgelegt, wobei die SU(3)-Gruppe die starke Wechselwirkung und die SU(2)×U(1) die elektroschwachen Wechselwirkungen bestimmen. Eichsymmetrien haben die spezielle Eigenschaft, dass die Symmetrietransformationen raum- und zeitabhängig sind. Man nennt sie deshalb lokale Symmetrien. Daraus resultiert, dass Wechselwirkungen zwischen den Materieteilchen nur über Wechselwirkungsteilchen, den Eichbosonen vonstatten gehen. Dies sind die Gluonen für die starke Wechselwirkung, die W- und Z-Bosonen für die schwache Wechselwirkung und das Photon γ für die elektromagnetische Wechselwirkung. Die Quarks sind keine beobachtbaren Freiheitsgrade sondern durch gluonische Wechselwirkungen immer in Form von Hadronen gebunden. In Prozessen bei hohen Energien ist die Benutzung von Quarks und Gluonen allerdings gerechtfertigt, da sich die Effekte der starken Wechselwirkung bei großen Impulsüberträgen störungstheoretisch mit Quarks und Gluonen berechnen lassen. Da die Eichsymmetrien Operatoren für die Masse in der Lagrangedichte verbieten, erhalten alle Teilchen ihre Masse durch Wechselwirkung mit dem Higgsboson, welches im Grundzustand einen endlichen Wert besitzt. Bis auf das theoretisch postulierte Higgsboson sind alle im Standardmodell vorkommenden Elementarteilchen experimentell beobachtet worden. Ein Hauptziel der Experimente, die am LHC durchgeführt werden, ist der Nachweis des Higgsbosons.

Das Standardmodell beschreibt erfolgreich alle in Beschleunigerexperimenten beobachteten Größen mit der experimentell erreichten Genauigkeit. Allerdings gibt man sich in der Elementarteilchenphysik damit nicht zufrieden, da man klären möchte, aus welcher fundamentalen Theorie das Standardmodell abgeleitet ist. Dabei ist es ein Ziel, die mehr als 20 Kopplungen und Parameter des Standardmodells, die bislang lediglich experimentell gemessen sind, aus dieser fundamentalen Theorie abzuleiten. Es gibt viele experimentelle und theoretische Hinweise auf eine fundamentale Theorie. So ist z. B. die in der Astrophysik beobachtete dunkle Materie nachweislich kein Teilchen des Standardmodells. Von den Experimenten am LHC erhofft man sich den Nachweis von neuen, nicht im Standardmodell enthaltenen, Elementarteilchen und somit konkrete Informationen über die Struktur dieser fundamentalen Theorie.

Eine in der Elementarteilchenphysik im Detail studierte Alternative zum Standardmodell ist das sogenannte minimale supersymmetrische Standardmodell, bei dem zu der im Standardmodell implementierten SU(3)×SU(2)×U(1)-Eichsymmetrie zusätzlich noch eine Symmetrie zwischen Bosonen und Fermionen – eine sogenannte Supersymmetrie – angenommen wird. In dieser Theorie verdoppelt sich die Anzahl der Elementarteilchen, da zu jedem Boson des Standardmodells noch ein dazugehöriges Fermion und für jedes Fermion des Standardmodells noch ein dazugehöriges Boson postuliert wird. Bislang ist nicht nachgewiesen, ob die Supersymmetrie in der Natur realisiert ist. Das minimale supersymmetrische Standardmodell ist ebenfalls eine effektive Theorie und hat mehr als 100 Kopplungen.

Die chirale Störungstheorie

Die chirale Störungstheorie [1] ist der Prototyp moderner effektiver Feldtheorien in der Elementarteilchenphysik. Sie wurde bereits in den 1970er-Jahren noch vor der Entwicklung der Quantenchromodynamik (QCD), der SU(3)-Eichtheorie für die starke Wechselwirkung, oder des Standardmodells entwickelt. Die chirale Störungstheorie beschreibt die starke Wechselwirkung der leichtesten Hadronen bei sehr kleinen Energieüberträgen. Diese Hadronen sind die Pionen π, Kaonen (K) und η-Teilchen, welche aus den leichten u-, d- und s-Quarks bestehen. Die chirale Störungstheorie basiert ausschließlich auf Symmetrieprinzipien und sie erlaubt Berechnungen auszuführen, welche im Rahmen der QCD auch mit heutiger Technologie noch unmöglich sind.

Vernachlässigt man die Massen der drei leichtesten Quarkflavours u, d und s, so hat die Lagrangedichte der QCD eine chirale Flavour-Symmetrie mit der Gruppenstruktur SU(3)L×SU(3)R, die im (u,d,s)-Raum für die chiralen links- und rechtshändigen Quarkfelder gültig ist. Die Flavour-Symmetrien sind im Gegensatz zu den Eichsymmetrien global, d. h. die Symmetrietransformationen sind raum- und zeitunabhängig. Von dieser chiralen Symmetrie ist nur die vektorielle Untergruppe SU(3)V im experimentell beobachteten Hadronenspektrum sichtbar. Der übrige Teil der Symmetrie wird beim Übergang von den Quarks und Gluonen zu den Hadronen gebrochen. Wie genau dies geschieht, ist bislang im Rahmen der QCD noch nicht quantitativ berechenbar. Aber man geht davon aus, dass die Brechung spontan ist. Das bedeutet, dass lediglich der Grundzustand der starken Wechselwirkung die Symmetrie teilweise bricht, während die Symmetrie in der Dynamik weiterhin vorliegt. Die nach dem Goldstone-Theorem dabei auftretenden masselosen Goldstonebosonen sind gerade die Pionen, Kaonen und das η-Teilchen. Die Lagrangedichte dieser Goldstonebosonen kann man bis heute noch nicht aus der QCD ableiten. Ihre Form ist jedoch aufgrund der Symmetrie unter Transformation der SU(3)L×SU(3)R stark eingeschränkt. In diese Theorie lassen sich nur mithilfe von Symmetrieüberlegungen auch die Effekte der nichtverschwindenden Quarkmassen, der elektrischen und auch der schwachen Wechselwirkung integrieren. Aufgrund der nichtverschwindenden Quarkmassen bekommen dann auch die Goldstonebosonen nichtverschwindene Massen. Die Lagrangedichte der chiralen Störungstheorie stellt eine Entwicklung in p/Λ und mqΛ dar, wobei p der Impuls der Goldstonebosonen und mq die Massen der u-, d- und s-Quarks darstellt. Die Skala Λ ist etwa 1 GeV.

Zu den bekanntesten Resultaten, die man aus den führenden Ordnungen der chiralen Störungstheorie ableiten kann, zählen z. B. die Gell-Mann-Okubo-Formel
4 M2K0 = 3 Mη2 + Mπ2
eine Relation zwischen den Massen der neutralen Kaonen, den Pionen und dem η-Teilchen, oder die Beschreibung des Zerfalls eines neutralen Pions in zwei Photonen, π0 → γγ. Die chirale Störungstheorie wird unter anderem intensiv bei der Analyse von Kaon-Zerfällen eingesetzt und spielt auch eine sehr wichtige Rolle im Rahmen der QCD-Gittereichtheorie, wo Rechnungen häufig nur in Bereichen des Parameterraumes ausgeführt werden können, die nicht den experimentell relevanten Bereichen entsprechen. Die chirale Störungstheorie wird dabei benutzt, um konsistente Extrapolationen in den physikalischen Bereich auszuführen. Die chirale Störungstheorie lässt sich erweitern, sodass sie die Wechselwirkung der Goldstonebosonen mit Baryonen (z. B. Neutronen, Protonen) oder schweren Mesonen (D- oder B-Mesonen) beschreibt. Diese theoretischen Erweiterung spielen heute eine wichtige Rolle in der theoretischen Kernphysik.

Niederenergietheorie der schwachen Wechselwirkung

Für Prozesse, bei denen der Energieübertrag von der Größenordung weniger GeV ist, kann man zu einer effektiven Feldtheorie des Standardmodells übergehen, bei der die W- oder Z-Bosonen und zusätzlich auch das Higgsboson und das Top-Quark ausintegriert sind, da deren Massen größer als 80 GeV sind. Ein bekanntes Beispiel hierfür ist z. B. der Zerfall des Myons in ein Elektron und zwei Neutrinos, μ → e νμ anti-νe oder der nuklare β-Zerfall, n→ p + e + anti-νe, der auf dem Quarkniveau der Reaktion d → e + anti-νe entspricht. Für den Zerfall des Myons ergibt sich dabei ein 4-Fermion-Operator, dessen Kopplung man die Fermikonstante GF nennt. Mithilfe der Matching-Prozdeur kann man in führender Ordnung die Relation GF = (√2/8)(g2/mW2) ableiten, welche den Zusammenhang der Fermikonstanten mit der SU(2)-Eichkopplung und der Masse des W-Bosons mW darstellt.

Diese effektive Theorie der schwachen Wechselwirkung bei niedrigen Energien ist ein Grundelement der modernen Flavour-Physik [2], einem Teilbereich der Elementarteilchphysik, die sich damit beschäftigt, die komplizierte Struktur des Quarksektors im Standardmodell zu erforschen. Ein Hauptstudienziel ist dabei, eine möglichst genaue Messung der sogenannten Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix (CKM-Matrix) durchzuführen, welche die Kopplung des W-Boson an die Quarks parametrisiert. Die Einträge dieser Matrix gehören zu den Kopplungen im Standardmodell, die nicht durch Symmetrien festgelegt sind. Aus den genauen experimentellen Messungen dieser Einträge erhofft man sich konkrete indirekte Hinweise auf die fundamentale Theorie, die dem Quarksektor des Standardmodells zugrunde liegt. Neben der direkten Suche nach bisher noch nicht bekannten Elementarteilchen am LHC, stellt die Flavour-Physik das zweite Standbein der Elementarteilchenphysik bei der Suche nach neuer Physik dar. Die Hauptstudienobjekte der Flavour-Physik sind die Zerfälle und Mischungseffekte der B- und D-Mesonen und der Kaonen. Die effektive Theorie ermöglicht dabei eine sehr effiziente Methode, um die Effekte der starken Wechselwirkung in einer systematischen Weise zu berechnen. Aufgrund der durch die Ausintegration der schweren Teilchen veränderten Renormierungsstruktur lassen sich große logarithmische Terme, die von störungstheoretischen Quantenkorrekturen der starken Wechselwirkung herrühren, zu allen Ordnungen aufsummieren. Außerdem erlauben die Symmetrieeigenschaften der effektiven Theorie – ähnlich wie bei der chiralen Theorie – nichtstörungstheoretische Effekte in systematische Weise zu parametrisieren und in verschiedenen Prozessen in Beziehung zueinander zu setzten. Im Rahmen des kompletten Standardmodells wäre dies nicht möglich.

Nichtrelativistische Quantenchromodynamik

Die nichtrelativistische Quantenchromodynamik (NRQCD) [3] ist eine effektive Feldtheorie für schwere nichtrelativistische Quark-Antiquark-Paare, also für Charm-, Bottom- und Top-Quarks. Die großen Massen m dieser Quarks ermöglichen die Entstehung von nichtrelativistischen Bindungszuständen, genannt Quarkonia, die durch ein QCD-Coulombpotenzial zusammengehalten werden. In Quarkoniumsystemen ist die Geschwindigkeit v der Quarks von der Größenordnung der starken Kopplungskonstante und somit eine Zahl wesentlich kleiner als eins. Die Quarkonia sind also das QCD-Analogon zum Positronium-Zustand in QED und in vielerlei Hinsicht ähnlich dem Wasserstoffatom. Aufgrund der größeren Kopplung der starken Wechselwirkung sind relativistische Korrekturen allerdings wesentlich größer. Die NRQCD wird aus der QCD abgeleitet, indem die im nichtrelativistischen Limes kleinen Komponenten der schweren Quarkfelder ausintegriert werden. Dieser Vorgang ist das feldtheoretische Pendant zur Foldy-Wouthuysen-Transformation, die man vom Wasserstoffatom kennt, und führt zu einer Separation von Quark- und Antiquarkfreiheitsgraden. Die Freiheitsgrade, die in die Formulierung der NRQCD eingehen, sind Quantenfelder für das schwere Quark, das Antiquark und für dynamische Gluonen. Die Quarkquantenfelder beschreiben Quark- und Antiquarkzustände mit der Energie-Impuls-Relation E ~ p2/m ~ mv2. Die Quantenfelder für die Gluonen beschreiben Zustände mit E~p~mv2 und sind das QCD-Analagon der Retardierungsphotonen, die im Wasserstoff z. B. für den Lambshift verantwortlich sind. Die Potenziale sind 4-Quark-Operatoren, die durch das Ausintegrieren von Gluonen der vollen QCD mit raumartigem Impuls entstehen. Die Renormierungsstruktur der NRQCD unterscheidet sich sehr stark von der der vollen QCD und erlaubt es, Logarithmen der Geschwindigkeit v und der Kopplung α, die in höheren Korrekturen auftreten, zu allen Ordnungen aufzusummieren [4].

Eines der Hauptanwendungsgebiete der NRQCD ist die Berechnung von Wirkungsquerschnitten für die Produktion von Quarkoniumzuständen in Beschleunigerexperimenten. So lassen sich z. B. Charmonium- (c anti-c) und Bottomoniumzustände (b anti-b) relativ leicht experimentell identifizieren. Sie dienen – da deren Eigenschaften gut bekannt sind – als Zustände, die zur Detektorkalibration benutzt werden können. Eine interessante Anwendung an einem zukünftigen Elektron-Positron-Linearbeschleuniger ist die Produktion von nichtrelativistischen Top-Antitop-Quarkpaaren, die eine äußerst präzise Messung der Top-Quarkmasse erlauben würde.

Man kann die Prinzipien, die in die NRQCD eingehen, auch anwenden, um eine nichtrelativistische effektive Feldtheorie im Rahmen der QED herzuleiten, die NRQED. Diese Theorie lässt sich für Berechnungen von elektrischen Bindungszuständen wie Positronium, Myonium oder myonischen Atomen anwenden. Eine vereinfachte Variante der NRQCD ergibt sich, wenn man entweder Feldoperatoren nur für nichtrelativistischen Quarks oder nur für Antiquarks in der effektiven Theorie zulässt. Die resultierende Feldtheorie nennt man effektive Theorie für schwere Quarks (Heavy-Quark-Effective-Theory, HQET). Diese Theorie wird bei der Beschreibung von B- und D-Mesonen eingesetzt, die aus einem schweren und einem leichten Quark zusammengesetzt sind.

Soft-kollineare effektive Theorie

Die in Beschleunigerexperimenten oder in Zerfällen von schweren Elementarteilchen am häufigsten vorkommenden Objekte sind sogenannte Jets. Ein Jet ist eine bestimmte Anzahl von leichten Hadronen (hauptsächlich Pionen und Kaonen) mit großer Energie, die alle sehr nahe beieinander liegen und in fast dieselbe Richtung laufen. Bei Beschleunigerexperimenten mit sehr hohen Energien – wie dem LHC – können in einer Reaktion eine sehr große Anzahl von Jets erzeugt werden. Jets entstehen erst nach der Hauptreaktion, die bei der Kollision der beschleunigten Teilchen auftritt. Deshalb ist ein genaues theoretisches Verständnis von Jets notwendig, um Rückschlüsse auf die Art der Hauptreaktion ziehen zu können.

Die soft-kollineare effektive Theorie (Soft Collinear Effective Theory, SCET) ist eine effektive Feldtheorie für Jets [5]. Sie stellt eine der neuesten Entwicklungen im Bereich der effektiven Feldtheorien dar. Um die Lagrangedichte der SCET herzuleiten, kann man eine Methode benutzen, die der Foldy-Wouthuysen-Transformation bei nichtrelativistischen Teilchen ähnlich ist. Sehr energetische und in eine Richtung kollimierte Quantenfelder haben eine große und eine kleine Komponente. Die letztere wird bei der Konstruktion der SCET ausintegriert. Die resultierende Feldtheorie besitzt für jeden Jet, der in einem Prozess vorkommt, sogenannte kollineare Quark- und Gluonfelder, die voneinander unabhängig sind. Diese Felder beschreiben jeweils die Dynamik der Teilchen, die in einem Jet kollimiert sind. Zudem besitzt die SCET niederenergetische Quark- und Gluonfelder, welche die Wechselwirkung zwischen den Jets beschreiben. Mithilfe der SCET lassen sich für viele Prozesse sogenannte Faktorisierungsformeln herleiten, die es erlauben, die dynamischen Vorgänge in prozessabhängige und prozessunabhängige Beiträge aufzuteilen. Die prozessunabhängigen Beiträge können dabei meistens nicht mittels Störungstheorie berechnet werden. Die Faktorisierungsformeln erlauben es aber, diese Beiträge aus Referenzprozessen zu bestimmen. Ein bekanntes Beispiel hierfür ist die sogenannte Proton-Parton-Verteilungsfunktion, welche die Impulsverteilung von Quarks im Proton beschreibt.

Die Zukunft von effektiven Feldtheorien

Obwohl es das eigentliche Ziel der Elementarteilchphysik ist, die Strukturen der letztlich fundamentalen Theorie von allem aufzudecken, der sogenannten Theory of Everything, ist es sehr wahrscheinlich, dass dies nicht auf einen Schlag, sondern vielmehr in vielen kleinen Schritten und über viele Physikergenerationen vonstatten gehen wird. So wird man auch am LHC nur Hinweise auf diese Strukturen finden und nicht alle Fragen, die sich im Rahmen des Standardmodells stellen, klären können. Dies geht einher mit der Tatsache, dass die am LHC erreichbaren Energien mit sehr großer Wahrscheinlichkeit nicht ausreichen werden, um die Strukturen der fundamentalen Theorie genügend gut auflösen zu können. Es ist deshalb abzusehen, dass effektive Feldtheorien auch in Zukunft das theoretische Grundwerkzeug in der Elementarteilchenphysik darstellen werden.

Originalveröffentlichungen

1.
S. Weinberg:
Phenomenological Lagrangians.
Physica A 96, 327–340 (1979).
2.
G. Buchalla, A. J. Buras, M. E. Lautenbacher:
Weak decays beyond leading logarithms.
Reviews of Modern Physics 68, 1125–1244 (1996).
3.
G. T. Bodwin, E. Braaten, R. P. Lepage:
Rigorous QCD analysis of inclusive annihilation and production of heavy quarkonium.
Physical Review D 51, 1125–1171 (1995).
4.
A. H. Hoang, I. W. Stewart:
Ultrasoft renormalization in nonrelativistic QCD.
Physical Review D 67, 114020 (2003).
5.
C. W. Bauer, S. Fleming, D. Pirjol, I. Z. Rothstein, I. W. Stewart:
Hard scattering factorization from effective field theory.
Physical Review D 66, 014017 (2002).
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