Forschungsbericht 2015 - Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik

Der 10+16 dimensionale Superraum als Baukasten für Streuamplituden

Autoren
Schlotterer, Oliver
Abteilungen
Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik, Potsdam-Golm
Zusammenfassung
Streuamplituden beschreiben die Wechselwirkungen von Elementarteilchen und bilden die Grundlage für die Vorhersage von Messergebnissen. Sie weisen deutlich reichhaltigere mathematische Strukturen und Symmetrien auf als ihre konventionelle Berechnungsvorschrift durch Feynman-Diagramme erwarten lässt. Im Folgenden wird ein Formalismus mit zusätzlichen Symmetrien und Raumdimensionen vorgestellt, der die versteckte Eleganz von Streuamplituden manifestiert und einen intuitiven Zugang zu ihnen erlaubt.

Die im frühen 20. Jahrhundert formulierte Quantenmechanik hat unser Verständnis der Naturkräfte auf (sub)atomaren Längenskalen grundlegend verändert. Insbesondere lehrt sie uns, dass jegliche Form von Materie, Energie oder Krafteinwirkung eine „körnige” Struktur hat, also auf elementare Bestandteile reduziert werden kann. Neben den Elektronen und Quarks, aus denen die Atome zusammengesetzt sind, zerfällt auch das Licht in unteilbare Quanten, den Photonen.

Streuamplituden: Brücke zwischen Theorie und Experiment

Im Formalismus der Quantenfeldtheorie wird jegliche Krafteinwirkung auf den Austausch von Übertragungsteilchen zurückgeführt. So fungiert das Photon zum Beispiel als Botenteilchen für die elektromagnetische Anziehung oder Abstoßung geladener Teilchen. Die zentrale Kennzahl für Kollisionsprozesse ist eine sogenannte Streuamplitude, deren Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeit für das Zustandekommen des Prozesses liefert und damit z. B. auch die Stärke der elektromagnetischen Wechselwirkung.

In ähnlicher Weise werden auch die übrigen nicht-gravitativen Wechselwirkungen beschrieben, die starken und schwachen Kernkräfte: Beiden sind bestimmte Austauschteilchen zugeordnet, deren Streuamplituden die experimentell zugänglichen Messgrößen liefern. Die starke Kernkraft zwischen Quarks wird durch Gluonen übertragen, eine Abwandlung des Lichts in acht Farbsorten mit zusätzlichen Wechselwirkungen untereinander. Quark- und Gluonenamplituden bilden die Grundlage der theoretischen Vorhersagen für vielerlei Messungen des Teilchenbeschleunigers „Large Hadron Collider” am CERN, d. h. Streuamplituden stellen die Quantenfeldtheorie auf den experimentellen Prüfstand.

Feynman-Diagramme: Erfolge und Grenzen

Ein Durchbruch in der Berechnung von Streuamplituden wurde bereits in den 1950er Jahren von dem amerikanischen Physiker und Nobelpreisträger Richard P. Feynman erzielt, der ihre Beiträge auf intuitive Art graphisch veranschaulichte. Ein Feynman-Diagramm zeigt den möglichen Ablauf eines Streuprozesses. Dabei werden Teilchenbahnen durch Linien mit Gabelungen an Wechselwirkungspunkten repräsentiert. Das Linienmuster wird nach einem überschaubaren Satz von Regeln in einen mathematischen Ausdruck überführt. Zum Beispiel erzwingt jeder Knoten Impuls- und Energieerhaltung unter den ein- und auslaufenden Teilchen. Die volle Amplitude ergibt sich durch Summation über die unendlich vielen Diagramme, die mit gegebenen Stoßpartnern als externe Beine vereinbar sind. Im Fall der elektromagnetischen Abstoßung von Elektronen gilt es also, über den Austausch von einem einzigen Photon bis unendlich vielen zu summieren (Abb. 1).

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Abb. 1: Die elektromagnetische Abstoßung von Elektronen (durchgezogene Linie) kommt durch den Austausch einer beliebigen Anzahl von Photonen (Schlangenlinie) zustande.
Abb. 1: Die elektromagnetische Abstoßung von Elektronen (durchgezogene Linie) kommt durch den Austausch einer beliebigen Anzahl von Photonen (Schlangenlinie) zustande.

Üblicherweise werden Streuamplituden nach der Anzahl geschlossener Schleifen aufgeteilt. Das ist die Anzahl der unbestimmten Energien und Impulse, die durch die knotenweisen Erhaltungssätze noch nicht fixiert sind. In erster Näherung werden nur Baumdiagramme ohne Schleifen mitgezählt, während alle denkbaren Einschleifendiagramme die erste quantenmechanische Korrektur zu einem gegebenen Prozess ausmachen.

Leider nimmt die Anzahl der Feynman-Diagramme sehr schnell mit der Anzahl von Schleifen und externen Beinen zu – und mehr noch die damit verbundene Anzahl von Rechenausdrücken. Wenn auch keines der beteiligen Diagramme per se ein Rechenhindernis darstellt, so bleiben doch viele Eigenschaften der Amplitude von der nach oben hin offenen Anzahl der Diagramme verborgen. In den letzten Jahren wurde in unterschiedlichsten Situationen mit Erstaunen festgestellt, welch reichhaltige Symmetrien und mathematische Strukturen in Amplituden verschiedener Quantenfeldtheorien und Schleifenordnungen versteckt sind, sobald das Resultat der sturen Summation von Feynman-Diagrammen genauer analysiert wird.

Für Botenteilchen der Kraftübertragung gilt z. B. das Symmetrieprinzip der Eichinvarianz, demzufolge die Polarisation von Licht oder Gluonen in Bewegungsrichtung nicht zur Amplitude beiträgt. In einzelnen Feynman-Diagrammen macht sich diese unphysikalische Polarisation jedoch sehr wohl bemerkbar und erst nach Summation aller Diagramme fixer Schleifenordnung zeigt sich die Eichinvarianz. Die Ineffizienz der Feynman-Diagramme liegt also in der Unmenge unphysikalischer Information, die sie den Zwischenschritten der Rechnung aufbürden. Alles in allem legen diese Beobachtungen nahe, den Feynman-Zugang „auszumisten” und alternative Berechnungs- und Beschreibungsvorschriften für Streuamplituden zu finden, die ihren Symmetrieeigenschaften von vornherein Rechnung tragen.

Supersymmetrie und Extradimensionen

Ein mächtiges Werkzeug der modernen theoretischen Teilchenphysik ist Supersymmetrie. Dahinter verbirgt sich eine Austauschsymmetrie zwischen Materieteilchen (z. B. Elektronen) und Botenteilchen wie Licht oder Gluonen. Zwischen den heute bekannten Teilchen sind keine Supersymmetrie-Verknüpfungen möglich, wie man bereits an der unterschiedlichen Anzahl von Farbsorten sieht (z. B. acht Gluonen, drei Quarks und ein Photon). Somit ist die experimentelle Verifizierung von Supersymmetrie noch Zukunftsmusik.

Eine Triebfeder für das Studium supersymmetrischer Theorien ist die unerhörte Vereinfachung ihrer Streuamplituden. Auch wenn die Anzahl der Feynman-Diagramme durch das Hinzufügen neuer Supersymmetrie-Partner gewaltig anwachsen mag, so fallen nach ihrer Aufsummierung einige Schleifenkonfigurationen systematisch weg. Diese Beobachtungen liefern nicht nur weitere Motivation, Formalismen jenseits der Feynman-Diagramme zu suchen, sondern zeichnen supersymmetrische Theorien als Spielwiese für ein besseres Verständnis von Streuamplituden aus.

Eine weitere Stellschraube auf der Suche nach einem vereinfachten Labor für Amplituden ist die Raumzeit-Dimension. Neben den uns umgebenden drei Raumdimensionen mit einer Zeitachse erlauben auch höherdimensionale Raumzeiten, die Supersymmetrie-bedingten Überraschungen in der Feynman-Summation zu untersuchen. Insbesondere lässt sich Supersymmetrie als Erweiterung der Raumzeit auffassen, in der neue, nicht-geometrische Richtungen als Auswahlmechanismus zwischen den beteiligten Partnerteilchen dienen. Der zugrundeliegende Formalismus ist als Superraum bekannt und die darin befindlichen Teilchen werden dementsprechend durch Superfelder beschrieben.

Der Pure Spinor-Superraum

Aktuelle Forschung am Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik hat zu neuen und frappierend übersichtlichen Darstellungen für Streuamplituden in einem zehndimensionalen Superraum geführt. Der Namensgeber für diesen hochdimensionalen Superraum ist ein sogenannter „Pure Spinor”, eine effiziente Hilfsvariable für die Auswahl physikalischer Polarisationen [1, 2]. Der Pure Spinor-Superraum erlaubt eine Superfeldbeschreibung für ein Gluon in zehn Dimensionen samt einem quark-ähnlichen Supersymmetrie-Partnerteilchen, dem sogenannten Gluino.

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Abb. 2: Zur Baumamplitude von sechs Gluonen tragen vierzehn kubische Diagramme bei, denen auf intuitive Weise einfache Rechenausdrücke im Pure Spinor-Superraum zugeordnet sind.
Abb. 2: Zur Baumamplitude von sechs Gluonen tragen vierzehn kubische Diagramme bei, denen auf intuitive Weise einfache Rechenausdrücke im Pure Spinor-Superraum zugeordnet sind.

Wie im Folgenden erklärt wird, ermöglicht der Pure Spinor-Superraum besonders geschickte Variablen, mit deren Hilfe Streuamplituden von Telefonbuchlänge plötzlich in eine Formelzeile passen. Die Baumdiagramme zur Streuung von sechs Gluonen würden in der Sprache konventioneller Polarisationsvektoren ca. 7.000 Rechenausdrücken produzieren. In den Variablen des Pure Spinor-Superraums schrumpfen diese aber auf 14 Summanden zusammen [3, 4] (Abb. 2), welche zudem die Gluino-Partneramplituden mitliefern. Umgekehrt können aus dem kompakten Superraum-Ausdruck die obigen 7.000 althergebrachten Amplitudenbausteine rekonstruiert werden, dank eines Computerprogramms [5] durch einen Klick auf die Enter-Taste.

Der Baukasten des Pure Spinor-Superraums

Wie oben angedeutet, erfasst der Pure Spinor-Superraum große Gruppen an Feynman-Diagrammen auf einmal. Deren Repräsentanden vereinfachen sich zu kubischen Graphen-Cartoons von Feynman-Diagrammen mit nur einer Sorte von Linien, die sich nur in Knoten mit je drei zusammenlaufenden Linien verzweigen können. Die oben erwähnten 14 Baumgraphen-Beiträge zu einer sechs Gluon-Amplitude entsprechen den 14 kubischen Graphen, die mit einer zyklischen Anordnung der externen Beine kompatibel sind (Abb. 2). Wie man an den ehemals 7.000 Beiträgen aus der Feynman-Summation sieht, entschärfen die kubischen Graphen die aus konventionellen Feynman-Regeln stammende Scheinkomplexität.

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Abb. 3: Universelle Vielteilchen-Superfelder beschreiben die Subgraphen auf der linken Seite, unabhängig vom potenziell schleifenhaltigen Restdiagramm auf der rechten Seite, an das sie durch die mit · · · markierte Linie andocken.
Abb. 3: Universelle Vielteilchen-Superfelder beschreiben die Subgraphen auf der linken Seite, unabhängig vom potenziell schleifenhaltigen Restdiagramm auf der rechten Seite, an das sie durch die mit · · · markierte Linie andocken.

Nun gilt es, kubische Graphen systematisch in Superfelder zu übersetzen. In diesem Unterfangen erlaubt der Pure Spinor-Formalismus eine effiziente Recyclingmaßnahme, die sogenannten Vielteilchen-Superfelder [6]: Zu jedem kubischen Baumgraphen lassen sich durch ein rekursives Verfahren universelle Superfelder zuweisen, welche die Information von mehreren durch externe Beine repräsentierten Stoßpartnern beinhalten. Wie in Abbildung 3 veranschaulicht, besitzen die zu Vielteilchen-Superfeldern gehörigen Baumgraphen eine zusätzliche (in der Abbildung gepunktete) Linie, um an beliebige andere Teildiagramme anzudocken. Kubische Diagramme mit Schleifen werden dann in die größtmöglichen baumartigen Subgraphen zerlegt. Diese entsprechen wiederum Vielteilchen-Superfeldern, unabhängig vom restlichen Graphen jenseits der Andockstelle.

Die Konstruktion der Superraum-Repräsentanden von Subgraphen ist durch die BRST-Symmetrie diktiert. Hinter diesem auf die Physiker Becchi, Rouet, Stora und Tyutin zurückgehenden Akronym verbirgt sich eine Art Verschmelzung von Eichinvarianz und Supersymmetrie. Damit folgen die Pure Spinor-Methoden einer allgemeinen Maxime der theoretischen Physik, Probleme anhand ihrer Symmetrien zu lösen.

Die altbekannte zehndimensionale Superraum-Beschreibung von einzelnen Gluonen [7] verwendet genau vier Typen von Superfeldern, die man mit den vier Farben eines Kartenspiels vergleichen kann – Karo, Herz, Pik und Kreuz. Dementsprechend erlaubt die BRST-inspirierte Konstruktion von Vielteilchen-Superfeldern genau vier Versionen pro Subgraph (Abb. 4).

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Abb. 4: Es gibt vier Sorten ♦,♥,♠ und ♣ von Superraum-Repräsentanden für Subgraphen, dargestellt durch Ellipsen (1). Baum- (2) und Einschleifendiagramme (3) setzen sich aus fixen „Farb”konfigurationen ♦♦♦ bzw. ♦♠♠♣ zusammen.
Abb. 4: Es gibt vier Sorten ♦,♥,♠ und ♣ von Superraum-Repräsentanden für Subgraphen, dargestellt durch Ellipsen (1). Baum- (2) und Einschleifendiagramme (3) setzen sich aus fixen „Farb”konfigurationen ♦♦♦ bzw. ♦♠♠♣ zusammen.

Deren Zusammensetzung in Amplituden unterliegt bestimmten Auswahlregeln sowie bei Kartenspielen vielfach gewissen Kombinationen aus Karo, Herz, Pik und Kreuz ausgezeichnet sind. Das Quartett der Vielteilchen-Superfelder ist über vielerlei Schleifenordnungen hinweg universell anwendbar. Die genauen Auswahlregeln für die Farbe mögen je nach Ordnung unterschiedlich sein, d. h. ♦♦♦ für Baumamplituden oder z. B. ♦♠♠♣ für Einschleifenamplituden [8] (siehe Abb. 4). Aber sie alle bedienen sich aus demselben Baukasten der Vielteilchen-Superfelder {♦, ♥, ♠, ♣}. Sobald dieser einmal systematisch bestückt ist, können komplexe Graphen mit wenig Aufwand konstruiert und in kompakte Form gegossen werden.

Zusammenfassung und Ausblick

Der oben vorgestellte Amplitudenbaukasten des Pure Spinor-Formalismus erlaubt es, Feynman-Diagramme von ihrem unphysikalischen Ballast zu befreien und Amplituden über effiziente Rechenwege in elegante Darstellungen zu gießen. Die verwendeten kubischen Graphen bewahren auf der einen Seite die suggestive Kraft der ursprünglichen Feynman-Diagramme, zähmen aber auf der anderen Seite die explosionsartige Zunahme der Rechenausdrücke mit der Anzahl von Knoten, Linien und Schleifen. Stattdessen können kubische Graphen im Pure Spinor-Superraum zerlegt werden und nach einem überschaubaren Satz von Regeln gemäß ihrer baumartigen Bestandteile organisiert werden. Die BRST-Symmetrie übernimmt eine stringente Leitung in jedem Schritt der Superraum-Konstruktion von Amplituden.

Derzeit wird am Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik konzentriert an Weiterentwicklungen der Pure Spinor inspirierten Methoden gearbeitet. Es gilt nicht nur, die Systematik der supersymmetrischen Gluonamplituden auf höheren Schleifenordnungen zu verstehen, sondern auch größere Klassen von Amplituden in Gravitations- oder Stringtheorien aus demselben Baukasten zu konstruieren [9, 10]. Der Pure Spinor-Superraum trägt ein hohes Potenzial, unser Grundverständnis von wechselwirkenden Quantentheorien voranzubringen.

Literaturhinweise

1.
Howe, P. S.
Pure spinors, function superspaces and supergravity theories in ten-dimensions and eleven-dimensions
Physics Letters B 273, 90-94 (1991)
DOI
2.
Berkovits, N.
Super Poincaré covariant quantization of the superstring
Journal of High Energy Physics 2000, 018 (2000)
3.
Mafra, C. R.
Towards Field Theory Amplitudes From the Cohomology of Pure Spinor Superspace
Journal of High Energy Physics 2010, 096 (2010)
DOI
4.
Mafra, C. R.; Schlotterer, O.; Stieberger, S.; Tsimpis, D.
A recursive method for SYM n-point tree amplitudes in supersymmetric Yang-Mills theories
Physical Review D 83, 126012 (2011)
5.
Mafra, C. R.
PSS: A FORM Program to Evaluate Pure Spinor Superspace Expressions
ePub ahead of print: arXiv:1007.4999 [hep-th]
6.
Mafra, C. R.; Schlotterer, O.
Multiparticle SYM equations of motion and pure spinor BRST blocks
Journal of High Energy Physics 2014, 153 (2014)
DOI
7.
Witten, E.
Twistor - Like Transform in Ten-Dimensions
Nuclear Physics B 266, 245-264 (1986)
DOI
8.
Mafra, C. R.; Schlotterer, O.
Towards one-loop SYM amplitudes from the pure spinor BRST cohomology
Fortschritte der Physik 63, 105-131 (2015)
9.
Bern, Z.; Carrasco, J. J. M.; Johansson, H.
Perturbative Quantum Gravity as a Double Copy of Gauge Theory
Physical Review Letters 105, 061602 (2010)
DOI
10.
Mafra, C. R.; Schlotterer, O.; Stieberger, S.
Complete N-Point Superstring Disk Amplitude I. Pure Spinor Computation
Nuclear Physics B 873, 419-460 (2013)
DOI
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