Forschungsbericht 2014 - Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften

Effektive Beschreibung von heterogenen Medien

Autoren
Marahrens, Daniel; Otto, Felix
Abteilungen
Musterbildung, Energielandschaften und Skalierungsgesetze
Zusammenfassung
Ein in Natur- und Ingenieurwissenschaft häufig vorkommendes Problem ist die Bestimmung von makroskopischen Materialeigenschaften von heterogenen Medien mit mikroskopischen Strukturen. Über Simulationen von repräsentativen Volumenelementen ist es möglich, die Materialeigenschaften zu berechnen. Um dieses möglichst effizient zu tun, sind genaue Fehlerabschätzungen von großem Interesse. Diese können durch Kombination von Ideen aus Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie hergeleitet werden.

Einleitung

Nur wenige Materialien in der Natur können als perfekt homogen angesehen werden. Häufig rührt die Heterogenität eines Materials daher, dass es aus mehreren (für sich homogenen) Phasen zusammengesetzt ist. Beispiele hierfür sind Verbundwerkstoffe, für deren elastische Eigenschaften man sich interessiert, oder poröse Medien, deren Durchlässigkeit für Flüssigkeiten man verstehen möchte. In Abbildung 1 werden drei entsprechende Beispiele gezeigt.

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Abb. 1: Beispiele für heterogene Medien (von links nach rechts): poröse Keramik, Cermet und Knochenmark.
Abb. 1: Beispiele für heterogene Medien (von links nach rechts): poröse Keramik, Cermet und Knochenmark.

Man unterscheidet zwei Längenskalen: die mikroskopische Skala Lkor (auch Korrelationslänge, siehe unten) der Materialstrukturen, z. B. die typische Größe der Poren, und die relevante makroskopische Systemgröße Lsys, z. B. durch die Abmessung der Probe gegeben. Für die Anwendungen typisch ist eine klare Separation dieser Längenskalen, das heißt Lkor ist klein gegenüber Lsys (kurz Lkor « Lsys). In vielen Situationen beobachtet man dann, dass sich das Material auf der makroskopischen Skala Lsys also effektiv, wie ein homogenes Material verhält. Umgekehrt kennt man die mikroskopischen Materialstrukturen in der Regel nicht im Detail, sondern allenfalls gewisse statistische Eigenschaften. Unter welchem Bedingungen also gibt es ein effektives Materialverhalten, das nur von statistischen Eigenschaften der mikroskopischen Struktur abhängt; wie berechnet man dieses effektive Verhalten aus den statistischen Eigenschaften; wann kann man explizite Formeln erwarten?

Entsprechend der Häufigkeit, mit der heterogene Materialien in der Natur auftauchen, wurden Problemstellungen dieser Art schon früh wissenschaftlich untersucht. Als Beispiele seien hier die Herleitung der effektiven Leitfähigkeit eines Mediums bestehend aus kleinen Kugeln suspendiert in einem Hintergrundmedium durch Maxwell erwähnt, sowie die Einstein'sche Berechnung der Viskosität einer Flüssigkeit, der viele kleine, zufällig angeordnete, Kugeln beigemischt sind. In beiden Fällen wurden explizite Formeln für die effektive Leitfähigkeit bzw. die effektive Viskosität hergeleitet, die im Bezug auf die mikroskopische Geometrie nur vom Volumenanteil der zweiten Phase abhängen. Diese gelten allerdings nur unter der zusätzlichen Annahme, dass der Radius der Kugeln sehr klein gegenüber deren typischen Abstand ist. Diese explizite Störungstheorie erster Ordnung beruht folglich darauf, dass die Kugeldichte zusätzlich zum Quotienten der beiden Längenskalen (Lkor / Lsys) « 1 einen weiteren (kleinen) Parameter darstellt.

Überwiegt keines der Einzelmaterialien, so ist es im Allgemeinen nicht möglich, gute geschlossene Näherungsformeln für die effektiven Eigenschaften des heterogenen Materials anzugeben. Insbesondere ist nicht zu erwarten, dass das effektive Materialverhalten nur vom Volumenanteil abhängt, da die mikroskopische Art der Verteilung der Phasen großen Einfluss auf das makroskopische Verhalten hat. Ein Beispiel dafür ist die effektive Durchlässigkeit des in Abbildung 2 skizzierten Mediums, welche jeweils zur Hälfte (im Volumenanteil) aus eher durchlässigem Material (grün) und zur Hälfte aus eher undurchlässigem Material (braun) bestehen.

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Abb. 2: Obwohl beide Materialien jeweils zur Hälfte aus durchlässiger und undurchlässiger Phase bestehen, ist die linke Mischung insgesamt wesentlich durchlässiger für Fluss entlang der Bildebene.
Abb. 2: Obwohl beide Materialien jeweils zur Hälfte aus durchlässiger und undurchlässiger Phase bestehen, ist die linke Mischung insgesamt wesentlich durchlässiger für Fluss entlang der Bildebene.

Wenn Störungstheorie nicht anwendbar ist, ist die computergestützte numerische Simulation die nächstliegende Methode, um das effektive Materialverhalten zu bestimmen. Diese basiert auf der Idee des repräsentativen Volumenelements: In diesem Ausschnitt wird auf der Basis einer typischen Realisierung der mikroskopischen Struktur eine Modellrechnung durchgeführt, die eine Näherung an das effektive Verhalten liefert. Dies ist so lange eine gute Näherung, wie das repräsentative Volumenelement eben repräsentativ ist, also die relevanten Eigenschaften der mikroskopischen Struktur gut darstellt. Sind die mikroskopischen Strukturen periodisch auf einem Gitter der Periodenlänge Lkor angeordnet (vergleiche Abb. 3), so reicht es, eine einzelne Zelle des Gitters als repräsentatives Volumenelement anzusetzen. In den oben genannten Anwendungen sind die Strukturen jedoch in zufälliger Weise über das Material verteilt. Es ist daher von theoretischer und praktischer Bedeutung, den Approximationsfehler zu untersuchen: So wird es möglich, die Größe des Volumenelements sinnvoll zu wählen.

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Abb. 3: Periodische (links) und stochastische (rechts) mikroskopische Strukturen im Vergleich.
Abb. 3: Periodische (links) und stochastische (rechts) mikroskopische Strukturen im Vergleich.

Fehlerabschätzungen

Damit sich ein effektives homogenes Materialverhalten einstellt, sind zwei Bedingungen an die statistische Verteilung der mikroskopischen Struktur erforderlich: Einerseits sollte das Verteilungsgesetz für die mikroskopische Struktur auch in makroskopisch entfernten Bereichen des Materials identisch sein, und andererseits sollten weit voneinander entfernte mikroskopische Strukturen unkorreliert sein. Die kleinste Distanz, ab der je zwei Materialausschnitte im Wesentlichen unkorreliert, das heißt statistisch voneinander unabhängig sind, nennen wir die Korrelationslänge. Diese entspricht typischerweise der charakteristischen Größe der mikroskopischen Strukturen; daher setzen wir sie mit der mikroskopischen Längenskala Lkor gleich. Einerseits sollte die Größe Lvol des repräsentativen Volumenelementes groß gegenüber der Korrelationslänge Lkor sein, damit der Ausschnitt die volle Information über die Verteilung der mikroskopischen Struktur beinhaltet. Andererseits sollte die Größe des repräsentativen Volumenelements klein gegenüber der Systemgröße Lsys sein, da sonst die Bestimmung des effektiven Verhaltens ebenso aufwendig ist wie die Simulation des gesamten Systems mit allen mikroskopischen Details.

Auf Basis des repräsentativen Volumenelementes können durch Simulation Näherungswerte für die effektiven Materialeigenschaften bestimmt werden. Dabei kann grob zwischen zwei Fehlerquellen unterschieden werden: Auf der einen Seite steht der sogenannte statistische Fehler, der die Abweichung vom statistischen Mittel misst und auf der anderen Seite der sogenannte systematische Fehler, der die Abweichung dieses Mittels von den exakten effektiven Materialeigenschaften (welche im Grenzwert (Lkor / Lsys) → 0 erreicht werden) misst. Aufgrund seiner statistischen Natur kann der Einfluss der ersten Fehlerquelle durch Mittelwertbildung über viele Stichproben, das heißt über die Näherungswerte zu vielen statistisch unabhängigen Realisierungen der mikroskopischen Struktur gemäß des vorgegebenen Verteilungsgesetzes, verkleinert werden. Der zweite Fehlerterm rührt daher, dass das Verteilungsgesetz in einem endlichen Ausschnitt wegen der erforderlichen Randbedingungen nur eingeschränkt realisiert werden kann: Beispielsweise entstehen bei periodischen Randbedingungen künstliche langreichweitige Korrelationen der mikroskopischen Struktur (siehe Abb. 4). Im Gegensatz zur ersten Fehlerquelle kann die zweite ausschließlich durch Vergrößern des Volumenelementes verringert werden. Um zu wissen, wie eine gegebene Fehlertoleranz mit minimalem numerischen Aufwand (der durch die Anzahl der Stichproben und die Größe Lvol des Volumenelements bestimmt ist) erzielt werden kann, ist es nötig, das genaue Abklingverhalten beider Fehler mit der Längenskala Lvol zu verstehen.

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Original 1508157071
Abb. 4: Zwei verschiedene Realisierungen des repräsentativen Volumenelements. Die Differenz a - ā kann durch Vergrößern von Lvol verringert werden.
Abb. 4: Zwei verschiedene Realisierungen des repräsentativen Volumenelements. Die Differenz a - ā kann durch Vergrößern von Lvol verringert werden.

Beitrag der Forschung am Max-Planck-Institut

Am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften wird dieses Problem beispielhaft an Hand von Leitfähigkeits- und Elastizitätsmodellen untersucht; wir konzentrieren uns hier auf die elektrische Leitfähigkeit. Hier besteht das auf dem repräsentativen Volumenelement zu lösende Modellproblem aus einer Randwertaufgabe für das elektrische Potential. Im Falle einer mikroskopischen Leitfähigkeit, die nur kleine relative Kontraste ausweist, kann das Problem, ähnlich wie von Maxwell und Einstein für die vorher genannten Modelle, in erster Ordnung mit einer Störungstheorie komplett analysiert werden; das Abklingverhalten der ersten Fehlerquelle ergibt sich beispielsweise aus einer Anwendung des Gesetzes der großen Zahlen.

Für mikroskopische Leitfähigkeiten, die einen relativen Kontrast der Größenordnung eins haben, ist die effektive Leitfähigkeit eine nicht-lineare und nicht-lokale Funktion des Feldes der mikroskopischen Leitfähigkeit. Eine entscheidende Idee, das Problem unter Kontrolle zu bekommen und mit zum ersten Mal am Max-Planck-Institut angewendet wurde, stammt aus der statistischen Physik. Dabei wird die endliche Korrelationslänge in der Verteilung der mikroskopischen Leitfähigkeiten über eine sogenannte Spektrallücke des Verteilungsgesetzes quantifiziert. Die Spektrallücke kann als Verallgemeinerung des Gesetzes der großen Zahlen (mit Fehlerabschätzung) auf nicht-lineare und nicht-lokale Funktionen verstanden werden und besagt grob gesprochen, dass die statistische Varianz einer Funktion durch das Integral des Quadrats der Variation dieser Funktion unter lokaler Änderung der mikroskopischen Leitfähigkeit abgeschätzt ist. Der Name Spektrallücke rührt daher, dass der dazu gehörige Differentialoperator, welcher in der statistischen Physik eine große Rolle spielt, ebendiese Spektrallücke aufweist. Mit Blick auf die Hochdimensionalität des Problems in den Koeffizienten scheint es natürlich, dass Methoden aus der statistischen Physik hilfreich sind, da jene sich ebenfalls durch die hohe Zahl von Dimensionen (oft unendlich) auszeichnen. Die Änderung des elektrischen Potentials bei Änderung der mikroskopischen Leitfähigkeit wird beschrieben durch die Green'sche Funktion. Mittels Abschätzungen an das Abklingverhalten der Green'schen Funktion zu heterogener Leitfähigkeit ist die Spektrallücke Ausgangspunkt optimaler Fehlerabschätzungen. So wurde in [3] gezeigt, dass der statistische Fehler sich wie N-(1/2) (Lvol / Lkor)-(d/2) (hier bezeichnet N die Anzahl der Stichproben und d=3 die Raumdimension) und der systematische Fehler sich (bis auf einen logarithmischen Korrekturfaktor) wie (Lvol / Lkor)-d verhält.

Das oben dargelegte Programm wurde am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in einer Reihe von Publikationen umgesetzt ([1 - 3] und weitere) und zeigt, wie die fruchtbare Verbindung von Einsichten aus verschiedenen Bereichen wie der statistischen Physik, der Regularitätstheorie von Differentialgleichungen und der Wahrscheinlichkeitstheorie zusammen neue Einblicke auf dieses alte Problem der heterogenen Medien erlaubt. In weiteren Forschungsvorhaben sollen diese Methoden auf komplexere Grundgleichungen als die Leitfähigkeitsmodelle und auf Randwertprobleme angewendet werden.

Literaturhinweise

1.
Gloria, A.; Otto, F.
An optimal variance estimate in stochastic homogenization of discrete elliptic equations
Annals of Probability 39 (3), 779-856 (2011)
2.
Gloria, A.; Otto, F.
An optimal error estimate in stochastic homogenization of discrete elliptic equations
Annals of Applied Probability 22 (1), 1-28 (2012)
3.
Gloria, A.; Neukamm, S.; Otto, F.
Quantification of ergodicity in stochastic homogenization: optimal bounds via spectral gap on Glauber dynamics - long version
Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences, Preprint 3/2013
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