Forschungsbericht 2014 - Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik

Raumzeiten bis ins Unendliche rechnen

Autoren
Rinne, Oliver
Abteilungen
Geometrische Analysis und Gravitation
Zusammenfassung
Bei der numerischen Lösung der Einstein-Gleichungen stellt sich das Problem, wie man eine unendliche, asymptotisch flache Raumzeit mit endlichen Rechenkapazitäten behandelt. Hier wird eine Zerlegung der Raumzeit in hyperboloidale Flächen untersucht, die bis ins lichtartige Unendliche reichen. Nach der Kompaktifizierung treten in den Einstein-Gleichungen formal singuläre Terme auf, die dennoch explizit ausgewertet werden können. Mit dieser Methode konnten stabile numerische Zeitentwicklungen von Raumzeiten mit schwarzen Löchern und Gravitationswellen bzw. Materiefeldern erzielt werden.

In den letzten Jahren konnten auf dem Gebiet der numerischen Relativitätstheorie große Fortschritte erzielt werden. Simulationen von verschmelzenden Schwarzen Löchern und anderen kompakten Objekten, jahrzehntelang ein ungelöstes Problem, sind inzwischen Routine. Doch bleiben etliche Fragen offen, die von einem verbesserten mathematischen Verständnis der Feldgleichungen und der globalen Eigenschaften ihrer Lösungen profitieren können. Im Folgenden wird ein Beispiel für eine solche Frage erläutert.

Viele astrophysikalisch interessante Phänomene kann man in guter Näherung als isoliertes System betrachten, d. h. als eine asymptotisch (im Unendlichen) flache Raumzeit, die ein kompaktes Objekt enthält (z. B. einen Stern), das seinem eigenen Gravitationsfeld überlassen ist. Im Zentrum sind die Einstein'schen Feldgleichungen hochgradig nichtlinear und per Hand nur in Spezialfällen lösbar; hier ist man auf numerische Rechnungen angewiesen. Aber wie kann die gesamte, unendlich ausgedehnte Raumzeit mit endlichen Rechenkapazitäten behandelt werden?

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Abb. 1: Penrose-Diagramm der flachen (Minkowski-) Raumzeit. Die Zeit verläuft in vertikaler, der Raum in horizontaler Richtung (nur eine Raumdimension, der Radius, ist gezeigt). Eingetragen sind das räumliche Unendliche i0, das zeitartige Unendliche i± und das Null-Unendliche I±, jeweils Zukunft (+) bzw. Vergangenheit (-) betreffend. Die graue Region soll eine Quelle von Gravitationsstrahlung (graue Pfeile) andeuten. Die horizontalen Linien zeigen eine Zerlegung der Raumzeit in raumartige Hyperflächen, die sich dem räumlichen Unendlichen annähern, aber an einem endlichen Abstand abgeschnitten werden (vertikale Linie).

Die allgemeine Relativitätstheorie kennt drei verschiedene Arten von „unendlich”: das räumlich Unendliche, das zeitartige (Zukunft und Vergangenheit betreffende) Unendliche und das Null-Unendliche (dieser Unendlichkeit nähern sich Lichtstrahlen). Dies kann in einem sogenannten Penrose-Diagramm veranschaulicht werden, das den kausalen Zusammenhang von verschiedenen Punkten in der Raumzeit darstellt (Abb. 1).

Zeitentwicklung mit künstlichem Rand

Nach der Standard-Methode zerschneidet man die Raumzeit in raumartige Hyperflächen, die sich dem räumlichen Unendlichen nähern (siehe Abb. 1). Jede dieser Hyperflächen entspricht einer Momentaufnahme des Raums zu einem bestimmten Zeitpunkt. In der 3+1-Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie (drei Raumrichtungen und eine Zeitrichtung) teilen sich die Einstein-Gleichungen auf: in Zwangsgleichungen, die auf den einzelnen Hyperflächen gelten, und in Entwicklungsgleichungen, die beschreiben, wie man von einer Hyperfläche zur nächsten kommt. Wie aus Abbildung 1 ersichtlich, verlässt die abgegebene Strahlung mit fortschreitender Zeit nie die raumartigen Hyperflächen, denn alle Flächen enden im räumlichen Unendlichen. Es ist daher keine gute Idee, die räumlichen Koordinaten auf den Hyperflächen zu kompaktifizieren, um das räumliche Unendliche auf einen endlichen Abstand abzubilden. Die Folge davon wäre, dass die Wellenlänge der auslaufenden Strahlung bezüglich der kompaktifizierten Koordinaten zunehmend kleiner wird und letztlich numerisch nicht mehr aufgelöst werden kann.

In der Regel schneidet man daher die raumartigen Hyperflächen an einem bestimmten Abstand von der Quelle ab und löst die Gleichungen nur in dem so entstandenen Innenraum. Es müssen Randbedingungen gestellt werden, die auf dem so erzeugten künstlichen zeitartigen Rand gelten. Idealerweise sollten diese unter anderem garantieren, dass die Lösung auf dem abgeschnittenen Gebiet identisch mit der Lösung auf dem unbegrenzten Gebiet ist. Insbesondere möchte man erreichen, dass abgestrahlte Gravitationswellen die Grenzfläche ohne physikalisch unsinnige Reflexionen passieren.

Leider kann Gravitationsstrahlung in der Allgemeinen Relativitätstheorie an einem endlichen Abstand nicht eindeutig definiert werden. Bestenfalls kann man kleine Abweichungen von einer gegebenen (z. B. der flachen) Hintergrund-Raumzeit betrachten, aber das ist nur eine Näherungslösung. Der einzige Ort, an dem Gravitationsstrahlung wohldefiniert ist, ist das Null-Unendliche. Ziel ist daher, diese Art des Unendlichen bei der Rechnung am Computer einzubeziehen. Damit würde man zwei Fliegen mit einer Klappe schlagen und sowohl die Probleme vermeiden, die durch einen künstlichen zeitartigen Rand verursacht werden, als auch die Gravitationsstrahlung eindeutig (unabhängig von den gewählten Koordinaten) auslesen können. Letzteres ist von großer Bedeutung für die Gravitationswellen-Datenanalyse.

Eine Annäherung an das Null-Unendliche

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Abb. 2: Gezeigt ist das gleiche Diagramm wie in Abbildung 1, allerdings diesmal mit einer hyperboloidalen Zerlegung der Raumzeit.

Eine Möglichkeit, das Null-Unendliche in die Rechnung mit einzubeziehen, besteht darin, die Raumzeit in raumartige Hyperflächen zu zerlegen, die sich anstelle dem räumlichen Unendlichen dem Null-Unendlichen annähern (Abb. 2). Hyperflächen dieses Typs bezeichnet man als hyperboloidal: Wenn eine solche Fläche in den Standard-Koordinaten der flachen (Minkowski-) Raumzeit dargestellt wird, sieht sie aus wie ein Hyperboloid (Abb. 3). In gekrümmten Raumzeiten kann man allgemeiner z. B. Flächen konstanter mittlerer Krümmung wählen. Betrachtet man erneut die auslaufende Strahlung (Abb. 2), so erkennt man, dass sie nun im Laufe der Zeit die hyperboloidalen Flächen verlässt und dass es somit keine Probleme mit der Auflösung gibt.

Helmut Friedrich erzielte wichtige Fortschritte in der Behandlung der Einstein-Gleichungen auf solchen hyperboloidalen Zerlegungen der Raumzeit [1]. Er entwickelte eine Neuformulierung der Gleichungen, die im Null-Unendlichen völlig regulär ist und weitere reizvolle mathematische Eigenschaften hat. Eine Reihe von Autoren (Peter Hübner, Jörg Frauendiener, Sascha Husa und Mitarbeiter) verwendeten Varianten von Friedrichs System für numerische Simulationen [2]. Ein großer Teil dieser Arbeiten entstand in den späten 1990er Jahren am Albert-Einstein-Institut.

Ein etwas anderer Ansatz wird vom Autor des vorliegenden Artikels zusammen mit Vincent Moncrief (Yale University) verfolgt: die direkte Rechnung mit den Einstein-Gleichungen in einer einfachen 3+1-Zerlegung auf Flächen konstanter mittlerer Krümmung. Die Motivation dafür ist, dass auf den umfangreichen Erfahrungen aufgebaut werden soll, die numerische Relativisten inzwischen mit ähnlichen Formulierungen der Einstein-Gleichungen gewonnen haben. Ähnlich wie in [1] wird eine konforme (winkelerhaltende) Transformation auf die Metrik der Raumzeit angewendet. Bezogen auf ein in geeigneter Weise kompaktifiziertes Koordinatensystem (wie im Penrose-Diagramm) ist die konforme Metrik überall endlich. Wird diese Form der Metrik jedoch direkt in die Einstein-Gleichungen eingesetzt, so entstehen Terme, die im Null-Unendlichen formal singulär sind. Glücklicherweise konnte gezeigt werden [3], dass diese Terme in den Entwicklungsgleichungen im Null-Unendlichen tatsächlich völlig regulär ausgewertet werden können, vorausgesetzt, die Zwangsgleichungen sind erfüllt. Aufbauend auf diesen analytischen Ergebnissen konnten stabile numerische Zeitentwicklungen für eine Reihe von Situationen erzielt werden, die im Folgenden beschrieben werden.

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Abb. 3: Eine hyperboloidale Fläche in der Minkowski-Raumzeit. Die Zeit verläuft in vertikaler, der Raum in horizontaler Richtung. Diese Fläche kann kompaktifiziert werden, indem man sie auf die im unteren Teil der Abbildung gezeigte sogenannte Poincaré-Scheibe projiziert.

Anwendungen auf Raumzeiten mit Schwarzen Löchern

In [4] wurden Vakuumlösungen der Einstein-Gleichungen – also ohne Materie – untersucht. Um den Rechenaufwand zu reduzieren, wurde die Raumzeit als axialsymmetrisch angenommen. Die Anfangsdaten bestehen aus einem Schwarzen Loch vom Schwarzschild-Typ (d. h. nicht rotierend) mit einer schwachen Gravitationswelle. Dieses System konnte für sehr lange Zeiten numerisch stabil simuliert und die abgegebene Gravitationsstrahlung im Null-Unendlichen ausgelesen werden. Ein Teil der Gravitationsstrahlung fällt dabei in das Schwarze Loch und regt es zu Schwingungen an. Es verhält sich dann im Wesentlichen wie ein gedämpfter harmonischer Oszillator und gibt Strahlung mit charaketristischen Frequenzen (Quasinormalmoden) ab. Für die hier betrachtete relativ schwache Gravitationsstrahlung stimmen die numerischen Ergebnisse gut mit der linearen Störungstheorie überein.

In einer weiteren Arbeit [5] wurde Materie in die Formulierung mit einbezogen. Es konnte gezeigt werden, dass das analytische Ergebnis aus [3] hinsichtlich der Regularität der Gleichungen im Null-Unendlichen nicht beeinflusst wird, vorausgesetzt, der Energie-Impuls-Tensor der Materie erfüllt bestimmte Bedingungen. Diese Bedingung ist für die meisten strahlenden Materieformen erfüllt. Exemplarisch wurden ein masseloses Skalarfeld und die Yang-Mills-Theorie (eine nichtlineare Verallgemeinerung des Elektromagnetismus, die das Quark-Gluon-Plasma beschreibt) untersucht. Unter der Annahme von Kugelsymmetrie wurden numerische Entwicklungen der Einstein-Gleichungen mit verschiedenen Anfangsbedingungen durchgeführt. Dabei wurden sowohl Situationen betrachtet, bei denen die Materie im Laufe der Zeit zerfließt und dabei die flache Raumzeit zurücklässt, als auch solche, bei denen sie zu einem Schwarzen Loch zusammenstürzt.

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Abb. 4: Numerische Simulation der Einstein-Gleichungen mit einem kugelsymmetrischen masselosen Skalarfeld, das zu einem Schwarzen Loch kollabiert. Dargestellt ist das Skalarfeld Φ als Funktion der Zeit t im Null-Unendlichen (durchgezogene Linie) und am Horizont des gerade entstandenen Schwarzen Lochs (gestrichelte Linie). Zu späten Zeiten erkennt man das Abklingen nach einem Potenzgesetz (in dieser doppeltlogarithmischen Darstellung eine Gerade).

Abbildung 4 zeigt beispielhaft die numerische Simulation eines kollabierenden Skalarfeldes. Zu späten Zeiten ist hier das Abklingen des Feldes deutlich erkennbar. Dabei fällt auf, dass das Feld bei einem endlichen Abstand (hier am Horizont des Schwarzen Lochs) schneller abklingt als im Null-Unendlichen. Mit der oben beschriebenen herkömmlichen Methode unter Einführung eines künstlichen zeitartigen Rands wäre dieser Unterschied nicht zu sehen.

Ähnliche Ergebnisse wurden für Yang-Mills-Felder erzielt. Diese Materieform zeigt beim Gravitationskollaps eine außergewöhnlich reichhaltige Dynamik, die zurzeit weiter untersucht wird.

Literaturhinweise

1.
Friedrich, H.
Cauchy problems for the conformal vacuum field equations in general relativity
Communications in Mathematical Physics 91, 445-472 (1983)
2.
Husa, S.
Numerical relativity with the conformal field equations
Lecture Notes in Physics 617, 159-192 (2003)
3.
Moncrief, V.; Rinne, O.
Regularity of the Einstein equations at future null infinity
Classical and Quantum Gravity 26, 125010 (2009)
4.
Rinne, O.
An axisymmetric evolution code for the Einstein equations on hyperboloidal slices
Classical and Quantum Gravity 27, 035014 (2010)
5.
Rinne, O.; Moncrief, V.
Hyperboloidal Einstein-matter evolution and tails for scalar and Yang-Mills fields
Classical and Quantum Gravity 30, 095009 (2013)
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