Forschungsbericht 2012 - Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften

Numerische Berechnung der Wellenausbreitung

Autoren
Banjai, Lehel; Gruhne, Volker
Abteilungen
Max-Planck-Forschungsgruppe „Numerische Methoden der Akustik und des Elektromagnetismus im Zeitbereich“
Zusammenfassung
Das Verstehen und Vorhersagen der Ausbreitung unter anderem akustischer, elektromagnetischer und elastischer Wellen in verschiedenen Medien ist von großer Bedeutung in zahlreichen Anwendungen. Zur numerischen Behandlung solcher Probleme in räumlich unbeschränkten Gebieten ist die Randelementmethode besonders geeignet. Die Entwicklung und Analyse numerischer Verfahren für Randintegralmethoden zur Berechnung der Wellengleichung war noch vor Kurzem in der Anfangsphase. Wir geben hier eine kurze Beschreibung unserer Beiträge zu diesem spannenden Forschungsgebiet.

Einleitung

Seismologie, Radar- und Ultraschalltechnologie sind einige wichtige Anwendungsgebiete, in denen die Ausbreitung akustischer oder elektromagnetischer Wellen eine wesentliche Rolle spielt. In allen diesen Gebieten ist es von großem Interesse, Vorhersagen zu treffen. Diese Vorhersagen können beispielsweise helfen, Fragen nach den Auswirkungen elektromagnetischer Felder auf ein Flugzeugcockpit oder Fragen danach, wie man am besten durch Änderungen am Autodesign oder durch Errichten von Lärmschutzwänden den Lärm auf den Straßen eindämmen kann, zu beantworten. Des Weiteren besteht ein wichtiges Problem darin, aus den Messungen der Wellenstreuung Rückschlüsse auf das Streuobjekt zu ziehen. Dieses Problem tritt bei der Krebsfrüherkennung auf, bei der lediglich durch die Analyse der gestreuten Ultraschallwelle Kenntnisse über Lage und Größe des Krebses gewonnen werden sollen. In allen diesen Anwendungen sind numerische Berechnungen von großer Bedeutung. Bei der Entwicklung numerischer Verfahren geht es vor allem um eine hohe Genauigkeit, Schnelligkeit und Robustheit des Algorithmus, um eine möglichst breite Anwendung zu ermöglichen.

Ein Modellproblem

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Original 1339766962
Die einfallende, totale und gestreute Welle werden gezeigt.
Die einfallende, totale und gestreute Welle werden gezeigt.

Als Modellproblem betrachten wir die Streuung einer akustischen Welle an einem beschränkten Streuobjekt. In diesem Modellproblem bewegt sich eine einfallende Welle mit akustischem Druck ue(x,t) durch ein homogenes Medium, etwa Luft, und wird am Objekt Ω ⊂ ℝ3, z. B. einem Flugzeug, gestreut. Falls ue und Ω gegeben sind, möchten wir die gestreute Welle ug numerisch berechnen. Dabei berechnet sich die gestreute Welle als Differenz zwischen der totalen Welle ut und der einfallenden Welle. Mit anderen Worten ist die Streuwelle ug = ut - ue der Unterschied zwischen dem akustischen Druck, wenn das Hindernis Ω (d.h. ut) vorhanden ist, und dem Druck bei fehlendem Hindernis (d.h. ue). Die unbekannte Größe ug erfüllt eine partielle Differenzialgleichung, die sogenannte Wellengleichung. Abbildung 1 zeigt die drei verschiedenen Wellen ue, ut und ug.

Randintegralformulierung des Modellproblems

Das oben beschriebene Modellproblem und die daraus resultierende Wellengleichung sind auf einem unbeschränkten Gebiet ℝ3 \ Ω gegeben. Um das Problem numerisch behandeln zu können, müssen wir es umformulieren. Eine sehr erfolgreiche Methode sieht vor, die partielle Differenzialgleichung in eine Randintegralgleichung, die auf dem Rand Γ = ∂Ω des Streuobjekts erklärt ist, zu transformieren. Die Gleichung, die wir numerisch lösen möchten, ist damit auf einer beschränkten Mannigfaltigkeit der Dimension 2 definiert.

Um die Berechnung und die Analyse der Wellenausbreitung zu vereinfachen, wird häufig der zeitharmonische Ansatz gewählt. Dabei nehmen wir an, dass sich die gestreute Welle als ug = Re{eiktû} schreiben lässt. Die unbekannte Größe û erfüllt die zeitunabhängige Helmholtzgleichung. In den letzten 10 – 15 Jahren haben sich Randintegralmethoden für die Helmholtzgleichung, insbesondere für hochfrequente Probleme, d.h. k ≫ 1, als sehr erfolgreich erwiesen. Die Randintegralgleichung wird mittels Finite-Elemente-Methode (FEM), in diesem Zusammenhang meistens Boundary-Element-Method (BEM) genannt, im Ort diskretisiert. Die entstehende Matrix ist zwar vollbesetzt, aber die Matrix-Vektor-Multiplikation kann dennoch, zum Beispiel mithilfe der Methode der hierarchischen Matrizen, effizient berechnet werden. Allerdings müssen für den Fall k ≫ 1 spezielle diagonale Multipolentwicklungen verwendet werden, siehe [2]. Leider ist der zeitharmonische Ansatz manchmal nicht anwendbar, z. B. bei der Kopplung mit nichtlinearen Problemen, oder er führt zu sehr aufwändigen Rechenzeiten, wie z. B., wenn sich ug nur als Summe von vielen zeitharmonischen Wellen schreiben lässt, oder bei schwierigen Streuproblemen, bei denen das entstehende lineare System schlecht konditioniert ist.

Im Zeitbereich, also ohne den zeitharmonischen Ansatz, waren noch in naher Vergangenheit Randintegralmethoden weniger beliebt. Der Hauptgrund dafür ist eng mit der Tatsache verknüpft, dass die Standardmethoden, die wir aus dem Frequenzbereich kennen, fast immer instabil werden. Mit „instabil“, meinen wir, dass die Fehler sehr schnell oder sogar exponentiell mit der zeitlichen Entwicklung der Lösung wachsen. Numerische Methoden, an deren Entwicklung unsere Forschungsgruppe beteiligt ist, leiden nicht unter dieser Instabilität.

Numerische und algorithmische Aspekte

Für die Zeitdiskretisierung der Randintegralgleichungen werden in unserer Forschungsgruppe Faltungsquadraturverfahren verwendet. Faltungsquadraturverfahren niedriger Ordnung wurden von Ch. Lubich 1994 für Probleme, die sich mit der Wellenausbreitung beschäftigen, eingeführt. Als nächstes geben wir einen Einblick in Entwicklungsrichtungen auf dem Gebiet der mithilfe der Faltungsquadratur diskretisierten Integralgleichungen, zu denen unsere Forschungsgruppe wesentlich beigetragen hat und weiter beiträgt.

Numerische Verfahren hoher Ordnung

Die Lösungen der zeitdiskretisierten, also approximierten, Wellengleichung oder der zeitdiskretisierten Randintegralgleichung, besitzen Eigenschaften, die in gewissem Sinne komplizierteres Verhalten aufweisen als die exakten, kontinuierlichen Wellen. Wenn die Abweichung zum kontinuierlichen Fall zu stark ist, sind die numerischen Lösungen von geringer Bedeutung. Hier haben sich Methoden höherer Ordnung besonders gut bewährt. In [1] und [3] haben wir sowohl numerisch als auch theoretisch eine Methode analysiert, die in manchen Beispielen einen Zeitschritt gebraucht hat, der zehnmal größer war als bei bisher benutzten Methoden niedriger Ordnung. Damit konnte eine Verkürzung der Rechenzeit auf ein Zehntel erreicht werden. Dieser Unterschied bildet die Abgrenzung zwischen einer praktisch zu verwendenden und einer für die Praxis uninteressanten Methode.

Schnelle und parallele Implementierung

Die Matrizen, die nach der Ortsdiskretisierung auftreten, können durch schwachbesetzte Matrizen approximiert werden. Um dennoch optimale Berechnungszeiten zu erhalten, ist es wesentlich, die parallelen Möglichkeiten der modernen Computersysteme auszunutzen. Die ersten Schritte in diese Richtung sind in [1] publiziert worden. Der optimale Algorithmus wird Parallelisierung, Eigenschaften der akustischen/elektromagnetischen Wellen, etwa das Huygens'sche Prinzip, und die schnellen Methoden, die aus dem Frequenzbereich bekannt sind, wie etwa die Fast-Multipol-Methode, ausnutzen müssen.

Kopplung mit anderen Methoden

Das allerwichtigste für mögliche Anwendungen ist die Kopplung von Randintegralmethoden für Probleme im Außenraum mit Methoden für komplizierte Probleme in beschränkten Gebieten, etwa die Finite-Elemente-Methode für nichtlineare Probleme. Die analytische und algorithmische Herausforderung besteht hierbei im Wesentlichen in der Tatsache, dass für das Außen- und Innenraumproblem unterschiedliche Zeitdiskretisierungsmethoden verwendet werden.

1.
Banjai, L.
Multistep and multistage convolution quadrature for the wave equation
Algorithms and experiments. SIAM Journal on Scientific Computation 32 (5), 2964–2994 (2010)
2.
Banjai, L.; Hackbusch, W.
Hierarchical matrix techniques for low and high frequency Helmholtz equation
IMA Journal of Numerical Analysis 28 (1), 46–79 (2008)
3.
Banjai, L.; Lubich, C.; Melenk, J.
Runge-Kutta convolution quadrature for operators arising in wave propagation
Numerische Mathematik 119 (1), 1–20 (2011)
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