Auf den Spuren des Geldes - Neue Wege für Modelle zur geographischen Seuchenausbreitung

Die geographische Ausbreitung infektiöser Krankheiten ist ein komplexes Phänomen. Viele miteinander wechselwirkende Ursachen finden ihren Einfluss. Es scheint auf den ersten Blick unrealistisch und vermessen valide und allgemein gültige Vorhersagen bezüglich der Ausbreitung von Seuchen aufzustellen. Es gibt eine Vielzahl sehr unterschiedlicher Krankheiten deren Infektionsdynamik sich in wesentlichen Merkmalen unterscheidet und deren Gemeinsamkeiten nicht unmittelbar erkennbar sind. Zum anderen ist man in der Entwicklung von Computermodellen und theoretischer Konzepte auf Annahmen bezüglich dynamischer Einflüsse angewiesen, die nicht genau quantifiziert werden können und somit in Form freier Parameter in die Modellierung Eingang finden. Im Zuge wachsender Rechnerleistung hat sich die Philosophie durchgesetzt, möglichst viele Aspekte, die mutmaßlich für die geographische Ausbreitung einer bestimmten Krankheit relevant sein könnten, in Form von mathematischen Modulen in das gesamte Model zu integrieren. Die Hoffnung hierbei ist ein realitätsgetreues Bild der Ausbreitung zu zeichnen. Trotz einiger Erfolge birgt diese Strategie zahlreiche Nachteile. Zum einen ist aus der modernen Theorie nichtlinearer Prozesse bekannt, dass schon einfache dynamische Gleichungen mit einigen wenigen Parametern eine ungeheuere komplexe Dynamik aufweisen können, zum anderen kann oftmals eine in der Natur beobachtete komplexe Dynamik durch strukturell einfache mathematische Zusammenhänge beschrieben und verstanden werden. Weiterhin lässt sich zwar durch ein von vornherein kompliziertes Modell im besten Fall ein Phänomen beschreiben, es können aber im Nachhinein die für die Dynamik wesentlichen Faktoren nicht identifiziert werden.

Damals und heute

Diese Zusammenhänge lassen sich in einem Vergleich der Pestpandemie des 14. Jahrhunderts mit der globalen Ausbreitung von SARS im Frühjahr 2003 gut erläutern. Die Pest grassierte in Europa, ca. 20 % der Europäer fielen ihr zum Opfer. Die Seuche breitete sich in gleichmäßiger Geschwindigkeit von einigen wenigen Kilometern pro Tag mit einer wohldefinierten Wellenfront von Süden nach Norden über den europäischen Kontinent aus. Dieses Verhalten lässt sich mathematisch einfach durch eine Reaktion-Diffusionsgleichung beschreiben, in der lokales exponentielles Wachstum in der Anzahl der Infizierten mit diffusiver geografischer Ausbreitung infizierter Individuen kombiniert wird. Diffusiv heißt in diesem Zusammenhang, dass es eine typische Weglänge gab, die in einem gegebenen Zeitintervall zurückgelegt werden konnte. Im Mittelalter waren das einige Kilometer pro Tag. Details der Übertragung, soziale und demografische Faktoren waren für die Wellenfrontausbreitung kausal sekundär.

Die Ausbreitung der Lungenkrankheit SARS im Frühjahr 2003 hat gezeigt (Abb. 1), dass das moderne Reiseverhalten erheblichen Einfluss auf die global geografische Ausbreitung einer Seuche hat. Im Gegensatz zum Mittelalter können Menschen heutzutage binnen kürzester Zeit praktisch jede Entfernung zurücklegen und es liegt die Vermutung nahe, dass der hohe Grad an Komplexität im menschlichen Reiseverhalten keine zuverlässigen Prognosen über die weltweite Ausbreitung von Seuchen mehr erlaubt.

Ein Modell zur globalen Seuchenausbreitung

Um so überraschender ist es, dass die Ausbreitung von SARS mithilfe eines strukturell einfachen Modells, dass die lokale Infektionsdynamik mit 95% des weltweiten Flugreiseverkehrs kombiniert, sehr gut reproduziert werden kann [1. Im Modell bewegen sich infizierte Individuen zwischen den verschiedenen Knotenpunkten des globalen Flugnetzes und infizieren auf diese Weise andere Individuen - ähnlich wie bei einer chemischen Reaktion. Die Ausbreitungs- und Ansteckungsdynamik wird durch einen Satz so genannter stochastischer Differenzialgleichungen beschrieben. Mithilfe dieses strukturell einfachen Modells konnte gezeigt werden, dass nicht etwa die Knotenpunkte des Flugnetzes mit der höchsten Kapazität, sondern solche mit hohem Vernetzungsgrad hauptsächlich für die weltweite Verbreitung verantwortlich sind (Abb. 2). Das überraschend hohe Maß an Übereinstimmung zwischen den Vorhersagen des Modells und der von der WHO registrierten faktischen Ausbreitung von SARS legt nahe, dass man mithilfe einfacher Modelle die fatalen Folgen zukünftiger Epidemien einschränken könnte. So kann die Effizienz verschiedener Strategien schon vor der Durchführung von Impf- und Kontrollmaßnahmen in der Computersimulation getestet und verglichen werden. Gerade weil sich Epidemien heute so rasant über den gesamten Globus ausbreiten können, ist die schnelle Verfügbarkeit solcher Vorhersagen von entscheidender Bedeutung. Sie könnte letztlich zu einer Reduktion der Kosten, vor allem aber der Zahl der Opfer beitragen.

Das Gesetz des menschlichen Reiseverhaltens

Obwohl die dynamische Ausbreitung einer Seuche auf großen geographischen Längenskalen gut mithilfe des globalen Flugverkehrsnetzes beschrieben werden kann, verliert das Modell auf kleineren Längenskalen seine Gültigkeit. So spielt beispielsweise der Flugverkehr innerhalb Deutschlands nur eine marginale Rolle im Gesamtverkehrsvolumen. Um die Ausbreitung moderner Seuchen in mathematischen Modellen auf allen Entfernungsskalen zu beschreiben und Vorhersagekonzepte zu entwickeln, ist als zentraler Baustein eine genaue quantitative Kenntnis des Reiseverhaltens unabhängig vom Transportmittel erforderlich (Abb. 3). Leider ist es bisher nicht gelungen, die charakteristischen Eigenschaften all dieser Verkehrsströme zu quantifizieren. Das ist auch nicht weiter verwunderlich, da heutzutage Menschen die verschiedensten Verkehrsmittel verwenden können. Kurze bis mittlere Entfernungen werden mit Fahrrad, Auto und Bahn zurückgelegt, lange Reisen typischerweise per Flugzeug unternommen. Um umfassende Bewegungsdaten zu erheben, müssten all diese Verkehrsströme landesweit und international über längere Zeiträume gemessen und zusammengefasst werden, was in Anbetracht der Verkehrskomplexität kaum möglich erscheint.

In einer jüngst erschienenen Arbeit [2]konnten diese Schwierigkeiten umgangen und die Gesetzmäßigkeiten menschlichen Reiseverhaltens mit hoher Präzision ermittelt werden. Statt der Bewegung einzelner Menschen wurde die geografische Zirkulation von Dollarnoten in den USA untersucht, die durch reisende Menschen von Ort zu Ort transportiert werden. Die Daten hierzu wurden durch ein amerikanisches Bill-Tracking Internetspiel gesammelt. Die Idee dieses Spiels ist denkbar einfach: Eine große Anzahl von Geldnoten wird markiert und in Umlauf gebracht. Bekommt man eine markierte Geldnote, so kann man sich online registrieren, in einem Bericht seinen momentanen Aufenthaltsort angeben und die Dollarnote wieder in Umlauf bringen. Diese Internetseite ist mittlerweile so populär, dass schon ca. 80 Millionen individuelle Geldscheine registriert sind. Durch die enorme Datenfülle konnten mit hoher geografischer und zeitlicher Auflösung genaue Rückschlüsse auf die statistischen Eigenschaften des Reiseverhaltens gezogen werden. So ergab die Analyse, dass die Wahrscheinlichkeit W(R) in einem kurzen Zeitintervall von T<4 Tagen eine Reise der Entfernung R zu machen auf Längen zwischen R=10 und 4000 km einem universellen Potenzgesetz folgt (Abb. 4).

Lévy Flights und superdiffusive Dispersion

Das hat zur Folge, dass eine Größe, wie z.B. der Mittelwert einer Entfernung, seine Bedeutung verliert (Formal ist dieser Wert unendlich). Betrachtet man nun die geografische Dispersion von Geld als Zufallsbewegung, in der einzelne Schritte aus einer solchen Verteilung gezogen werden, so verlieren die für gewöhnlich benutzten mathematischen Gesetze ihre Anwendbarkeit(Abb. 5). So führt diese Art von stochastischer Bewegung nicht mehr auf die in der Biologie und Physik viel beobachtete Brown’sche Bewegung, sondern auf so genannte Lévy-Flüge, deren charakteristisches Merkmal ein substantiell höherer Anteil längerer Sprünge ist, ein Effekt der zu superdiffusiver Ausbreitung führt. Ähnliche Skalierungsgesetze kennt man aus anderen physikalischen und biologischen Systemen, wie turbulenten Strömungen und chaotischen Systemen. Überraschend ist, dass diese Form des Potenzgesetzes praktisch nicht von regionalen Faktoren abhängt und es sich um eine universelle Eigenschaft des modernen Reiseverhaltens handelt.

Konsequenzen für die Seuchenausbreitung

In Kombination mit lokalen Infektionsmodellen führt diese Art der superdiffusiven Dispersion zu geografischen Ausbreitungsmustern mit ganz anderen und bis jetzt nur wenig verstandenen statistischen Eigenschaften. Eine Konsequenz ist beispielsweise, dass das bei historischen Pandemien beobachtete Wellenfrontmuster nicht mehr zu erwarten ist, sondern delokalisierte Muster mit räumlich weitaus komplexerer Struktur. Auf der Basis der Analyse konnte eine mathematische Theorie des menschlichen Reiseverhaltens aufgestellt werden, deren Vorhersagen mit den gemessenen Skalierungsgesetzen in einem Entfernungsbereich von einigen Kilometern bis einigen tausend Kilometern genau übereinstimmt. Da für viele Krankheitserreger die Mechanismen der Ansteckung von Mensch zu Mensch bereits gut verstanden sind, können nun mithilfe der neuen Theorie erstmals konkrete Modelle untersucht werden, mit denen die globale Seuchenausbreitung realistisch berechnet und beschrieben werden kann. Weiterhin können schon existierende Seuchenausbreitungsmodelle, deren Dispersionsdynamik auf Annahmen beruhen und parameterbehaftet sind auf Konsistenz mit den Skalierungsgesetzen überprüft werden und somit an Validität gewinnen. Gerade im Licht einer potenziellen H5N1- Pandemie sind mathematische Modelle mit solidem Fundament zur Analyse der geografischen Ausbreitungsdynamik von Seuchen eine nicht zu unterschätzende Methode, nicht zuletzt um den Erfolg von Präventionsstrategien zu testen.