Forschungsbericht 2008 - Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik

Relativistische Gleichgewichtsfiguren: Mathematische Modelle von rotierenden Flüssigkeitskörpern in der Gravitationstheorie

Autoren
Ansorg, Marcus
Abteilungen

Geometrische Analysis und Gravitation (Prof. Dr. Gerhard Huisken)
MPI für Gravitationsphysik, Golm

Zusammenfassung
In diesem Artikel werden Modelle von rotierenden Körpern betrachtet, die aus Flüssigkeitsmaterie bestehen und deren innere Struktur wesentlich durch das eigene Gravitationsfeld bestimmt wird. Insbesondere sind diese Modelle durch ein Gleichgewicht zwischen den anziehenden Gravitations-, den abstoßenden Druck- sowie den Zentrifugalkräften gekennzeichnet, wodurch der Körper eine sogenannte Gleichgewichtsfigur annimmt. Es werden die prinzipiellen physikalischen und mathematischen Aspekte dargestellt und anhand einer Reihe von Beispielen die Komplexität dieses Gebietes demonstriert.

Die Entstehung der Theorie von Gleichgewichtsfiguren reicht bis in das 17. Jahrhundert zurück, als Isaac Newton ein ellipsoidisches Modell zur Beschreibung der Gestalt der Erde vorschlug. Im Kontext der Erörterung ähnlicher Modelle für allgemeine Himmelskörper haben viele berühmte Naturwissenschaftler und Mathematiker wesentlich zur Entwicklung der Theorie beigetragen, u. a. Newton, Riemann, Poincaré und Chandrasekhar. Heute wird die aktuelle Forschung vor allem durch astrophysikalische Gegebenheiten motiviert: Neutronensterne sind außerordentlich kompakt, sodass zu ihrer korrekten Beschreibung Einsteins allgemein-relativistische Theorie der Gravitation herangezogen werden muss.

Viele Probleme der Physik werden durch eine geeignete Abgrenzung von zu erforschendem System und seiner Umgebung angegangen. Hierbei wird der Einfluss der Umgebung auf das in Rede stehende System als vernachlässigbar eingeschätzt. Innerhalb der Einsteinschen Gravitationstheorie kann eine solche Unterscheidung allerdings problematisch sein, da die Struktur von Raum und Zeit an jedem Ereignispunkt von der globalen Verteilung von Energie und Impuls abhängt. Im Kontext der Theorie rotierender Gleichgewichtsfiguren ist jedoch lediglich ein einzelnes Flüssigkeitsobjekt von Interesse, das einen Himmelskörper modelliert. Ein derartiger Körper ist üblicherweise von einem großen Vakuumbereich umgeben, und die nächsten Nachbarobjekte befinden sich in weiter Entfernung. Als Konsequenz ergibt sich ein nur schwaches Gravitationsfeld im Raum zwischen den Körpern. In einer solchen Situation ist die oben beschriebene Abgrenzung eine gültige Annäherung an die Realität. Innerhalb der Theorie rotierender Gleichgewichtsfiguren werden des Weiteren folgende Vereinfachungen betrachtet. Man nimmt eine strikt stationäre Bewegung des Körpers an, wodurch sich aus physikalischen Beweggründen folgende Bedingungen ergeben:

1. verschwindende Temperatur T = 0,

2. starre Rotation und

3. axiale Symmetrie.

Thermodynamisches Gleichgewicht würde zwar durch eine einheitliche Temperatur T > 0 gewährleistet werden, jedoch sind solche Modelle physikalisch unrealistisch. Gewöhnliche Sterne sind in ihrem Inneren heißer als an ihrer Oberfläche und daher nicht im globalen thermischen Gleichgewicht. Darüber hinaus strahlen sie unentwegt einen bedeutenden Anteil an elektromagnetischen Wellen aus. Die für die Einsteinsche Theorie so interessanten Neutronensterne sind hingegen am Ende ihrer Lebenszeit in einem kalten Zustand, sodass die Annahme T = 0 für diese Objekte eine gültige Näherung darstellt.

Eine starre Rotation bildet sich durch die inneren viskosen Eigenschaften der Flüssigkeit aus. Innere Reibung der Flüssigkeitsschichten aneinander würde eine beliebige differentielle Rotation allmählich zum Erliegen bringen, sodass bei Erreichen des Gleichgewichtzustandes der Körper schließlich mit einer einheitlichen Winkelgeschwindigkeit rotiert.

Ferner führt innerhalb Einsteins Gravitationstheorie vermutlich jede Abweichung eines rotierenden Körpers von axialer Symmetrie zur Abstrahlung von Gravitationswellen. Im Verlauf dieser Abstrahlung nähert sich die Form des Körpers allmählich einer Rotationsfigur, die bei der Drehung um die Rotationsachse in sich selbst übergeht. Somit ist eine strikt stationäre Bewegung des Körpers nur mit Axialsymmetrie verträglich.

Das freie Randwertproblem

Mit den im vorigen Abschnitt dargestellten Vereinfachungen liefert die Newtonsche Theorie zwei Gleichungen, durch die eine Gleichgewichtsfigur beschrieben wird:

1. Die Euler-Gleichung bestimmt das Gleichgewicht zwischen Druck, Gravitations- und Zentrifugalkräften. Hierbei betrachtet man den Körper in einem geeigneten mitrotierenden Bezugssystem.

2. Die Poisson-Gleichung bestimmt bei gegebener Materieverteilung das durch sie erzeugte Gravitationsfeld.

Für die eigentliche Bestimmung der Gleichgewichtsfigur müssen nun beide Gleichungen miteinander kombiniert werden. Hierbei zeigt es sich, dass die Euler-Gleichung geeignet vereinfacht und in die Poisson-Gleichung eingesetzt werden kann. Auf diese Weise erhält man eine i. a. nichtlineare partielle elliptische Differentialgleichung, die getrennt Innen- und Außengebiet des Rotationskörpers beschreibt. Allerdings ist dabei seine Oberflächenform unbekannt. Die besondere Schwierigkeit bei der Lösung der Differentialgleichung liegt darin, dass man erst bei Kenntnis der Oberflächenform zwischen Innen- und Außengebiet entscheiden kann und somit erst dann weiß, welche Form der Differentialgleichung an welchem Raumpunkt zu verwenden ist. Ein solches mathematisches Problem wird als ,,freies Randwertproblem” bezeichnet, da der ,,Rand” des Körpers unbekannt ist und einen Teil der Aufgabe darstellt. Eine weitere Bedingung ist: Der Druck verschwindet auf der Oberfläche des Rotationskörpers.

Innerhalb Einsteins Gravitationstheorie liegen die Probleme prinzipiell auf einer ähnlichen Ebene. Allerdings sind nun vier Gleichungen zu betrachten (anstatt einer) und darüber hinaus sind diese Gleichungen komplizierter.

Die Maclaurin-Ellipsoide

Das im vorigen Abschnitt skizzierte freie Randwertproblem kann i. a. nicht streng gelöst werden. Bemerkenswerterweise ist es aber möglich, eine besonders einfache und elegante Lösung innerhalb der Newtonschen Theorie anzugeben, die sogenannten Maclaurin-Ellipsoide (Maclaurin 1742). Diese Körper weisen die einfachste geometrische Form auf, die man sich für Rotationskörper vorstellen kann: abgeplattete Rotationsellipsoide, d. h. um die Rotationsachse gedrehte Ellipsen mit einer kleinen und einer großen Halbachse, wobei die kleinere Halbachse entlang der Rotationsachse liegt (Abb. 1). Diese Klasse von Lösungen beschreibt Körper mit einer einheitlichen, innerhalb der Figur konstanten Massendichte. Die Maclaurin-Ellipsoide stellen einen Sonderfall dar und bilden für alle weiteren Betrachtungen – auch diejenigen in der allgemeinen Relativitätstheorie – eine wichtige Bezugsklasse.

Abgeplattetes Rotationsellipsoid (Maclaurin-Ellipsoid).

Numerisch ermittelte Figuren

Leider sind die Maclaurin-Ellipsoide die einzigen streng analytisch bekannten Lösungen für ausgedehnte rotierende Flüssigkeitskörper. Den reichhaltigen Raum aller möglichen Lösungen des freien Randwertproblems muss man daher mittels numerischer Methoden erforschen. In der Tat gelingt es, geeignet angepasste Koordinaten einzuführen, sodass eine auf diesen Koordinaten basierende sogenannte spektrale Methode hochgenaue Ergebnisse liefert. Mit diesem Verfahren ist es möglich, den gesamten Lösungsraum auszuleuchten und insbesondere Konfigurationen mit kritischen Eigenschaften zu berechnen.

Zu diesen kritischen Konfigurationen zählen:

a) Bei einer bestimmten maximalen Rotation kann sich Materie, die sich am Äquatorbereich des Körpers befindet, nicht mehr am Körper festhalten. Durch die Zentrifugalkräfte wird diese Materie von dem Körper ,,weggeschleudert”, weshalb man von einem solchen Körper sagt, er rotiere im mass-shed-Limes (mass-shed = Massenabwurf ). Ein Körper an dieser Grenze des äquatorialen Massenabwurfs hat typischerweise die Gestalt zweier aufeinander gesetzter Linsen und weist daher im Querschnitt eine Spitze auf (Abb. 2a).

b) Interessanterweise lässt sich eine Sequenz von Körpern verfolgen, die sich in ihrem Zentralbereich allmählich immer stärker einschnüren und schließlich einen Übergang zu toroidalen Formen beschreiben. Die Figur an diesem Übergang gehört zu den kritischen Konfigurationen (Abb. 2b).

c) Es lassen sich auch Einschnürungen außerhalb des Zentralbereiches beobachten, die zur Aufspaltung des Körpers führen. Diese Körper am Übergang zu einem 2-Körpersystem sind ebenfalls kritische Konfigurationen (Abb. 2c).

d) Schließlich lassen sich Sequenzen finden, die zu immer dünneren Ringen führen. Eine Reihe physikalischer Phänomene, die mit diesem interessanten Limes verknüpft sind, harren noch ihrer Erforschung (Abb. 2d).

Numerisch ermittelte Gleichgewichtsfiguren.

Im Rahmen der Einsteinschen Theorie ergeben sich zudem weitere kritische Konfigurationen:

1. Bei starker Gravitation und schneller Rotation erzeugen sphäroidische Körper einen Bereich, innerhalb dessen kleinere Objekte in der Umgebung des Körpers einem extremen Zwang ausgesetzt sind, der Rotation des Körpers zu folgen. Erreicht dieser als ,,Ergosphäre” bezeichnete Bereich die Rotationsachse, so wächst der zentrale Druck innerhalb des Körpers über alle Maßen und die Konfiguration erreicht einen kritischen Zustand.

2. Für toroidale Körper führt allerdings starke Gravitation und schnelle Rotation zu einem Übergang zu einem Schwarzen Loch.

Die Erforschung dieser verschiedenen Typen von Gleichgewichtsfiguren hat zu einer Einteilung des Lösungsraumes in bestimmte Teilklassen geführt. Die verschiedenen Aspekte, die diese Teilklassen auszeichnen, sind dank der umfangreichen numerischen Untersuchungen heute gut verstanden.

Offene Probleme: Wie stabil sind Gleichgewichtsfiguren?

In der Zukunft werden vor allem Fragen nach der Stabilität der Gleichgewichtsfiguren im Zentrum der Forschung stehen. Ein mittels obiger Techniken modellierter Körper kann, angeregt durch kleine Störungen, seinen Gleichgewichtszustand dauerhaft verlassen, einem neuen Gleichgewicht zustreben oder gar kollabieren. In diesem Fall spricht man von Instabilität. Findet der angeregte Körper jedoch zurück zu seinem Gleichgewicht, so handelt es sich um eine stabile Gleichgewichtsfigur. Die Untersuchung dieser Stabilitätsaspekte wird neuartige numerische und/oder analytische Approximationsverfahren erfordern.

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