Forschungsbericht 2024 - Max-Planck-Institut für Mathematik
Nicht-positive Krümmung und die isoperimetrische Ungleichung
Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn
Riemannsche Geometrie und die isoperimetrische Ungleichung
Die Geometrie befasst sich mit Räumen, in denen Größen wie Abstände, Winkel, Krümmung und Volumina messbar sind, und untersucht deren Wechselwirkungen. Klassische Beispiele sind gekrümmte Flächen im euklidischen Raum und höher-dimensionale Analoga, sogenannte Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Von besonderer Bedeutung ist die Beziehung zwischen lokalen Eigenschaften, etwa der Krümmung, und globalen geometrischen Ungleichungen, welche die Struktur des Raums im Großen beschreiben.
Allgemein ist die Krümmung eines Raums eine komplizierte Größe, die für jede Fläche im Raum die Abweichung von der euklidischen Geometrie misst. Ist der Raum selbst eine Fläche Σ, so lässt sich zumindest das Vorzeichen der Krümmung K leicht interpretieren (Abb. 1): Haben alle Abstandskreise vom Radius r eine Länge größer oder gleich (kleiner oder gleich) 2πr, so ist Σ nicht-positiv (nicht-negativ) gekrümmt. In allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeiten lässt sich das Krümmungsvorzeichen durch das Verhalten von Geodätischen – den kürzesten Verbindungskurven – bestimmen. Entfernen sich zwei Geodätische, die in einem Punkt starten, mindestens (höchstens) so schnell voneinander wie in der euklidischen Ebene, ist die Krümmung nicht-positiv (nicht-negativ).
Eine der ältesten und fundamentalsten Ungleichungen in der Geometrie ist die klassische isoperimetrische Ungleichung. Sie besagt, dass in der euklidischen Ebene unter allen einfach geschlossenen Kurven mit gegebenem Umfang der Kreis den größten Flächeninhalt einschließt. Sie bildet einen Spezialfall der (allgemeinen) isoperimetrischen Ungleichung: In jede geschlossene Kurve γ in einem euklidischen Raum beliebiger Dimension lässt sich eine Scheibe D einspannen, gemäß der Formel in Abb. 2. In der Regel existieren zu einer gegebenen geschlossenen Kurve viele verschiedene Scheiben, die der Ungleichung genügen. Wir werden jedoch weiter unten sehen, dass es eine ausgezeichnete Familie optimaler Scheiben gibt, für die die Ungleichung erfüllt ist.
Aus mathematischer Sicht stellt sich die Frage, welche geometrischen Eigenschaften des euklidischen Raums durch die isoperimetrische Ungleichung kodiert werden und welche anderen Räume sie zulassen. Ein topologisches Hindernis ist, dass es Räume gibt, in denen manche geschlossenen Kurven gar keine Scheibe beranden, wie etwa den Torus (Oberfläche eines Donuts). Berandet in einem Raum hingegen jede geschlossene Kurve eine Scheibe, so nennt man den Raum einfach zusammenhängend. Nach einem Resultat von Reshetnyak gilt die isoperimetrische Ungleichung in jedem einfach zusammenhängenden Raum nichtpositiver Krümmung. Andererseits gilt sie in vielen einfachen Räumen nicht. Auf der runden Sphäre berandet der Äquator zwar die nördliche Hemisphäre, trotzdem gilt die Ungleichung nicht.
Es zeigt sich, dass die isoperimetrische Ungleichung eine tiefe Verbindung zur Krümmung eines Raums aufweist.
Das Plateau-Problem, Minimalflächen und nicht-positive Krümmung
Der belgische Physiker Joseph Plateau beobachtete um 1849, dass sich in jede beliebig geformte Drahtschlinge ein Seifenfilm einspannen lässt. Das nach ihm benannte Plateau-Problem ist ein zentrales Variationsproblem der Geometrie. Es fragt nach der Fläche mit minimalem Flächeninhalt, die von einer gegebenen einfach geschlossenen Kurve (eine geschlossene Kurve heißt einfach, falls sie keine Selbstschnitte hat) eingeschlossen wird. Eine solche minimale Scheibe (Abb. 2) ist die mathematische Entsprechung eines Seifenfilms. Das Plateau-Problem steht offenbar in enger Verbindung mit der isoperimetrischen Ungleichung.
Die erste rigorose mathematische Lösung des Plateau-Problems für beliebige einfach geschlossene Kurven im euklidischen Raum wurde um 1930 unabhängig von Douglas (für die Lösung erhielt Douglas eine der ersten Fields-Medaillen) und Radó gefunden: Jede einfach geschlossene Kurve berandet eine Scheibe mit minimalem Flächeninhalt. Dieser Durchbruch markierte eine neue Epoche der Minimalflächentheorie, einem bis heute zentralen Gebiet der geometrischen Analysis mit Anwendungen in diversen Feldern wie Gruppentheorie, Darstellungstheorie, Topologie, Quantenmechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie.
Der Beweis folgt der direkten Methode der Variationsrechnung: Aus einer Folge von eingespannten Scheiben mit monoton fallenden, fast minimalen Flächeninhalten wird ein echter Flächenminimierer konstruiert. Die dabei entwickelten Ideen motivierten Lösungen für eine Vielzahl weiterer Variationsprobleme, darunter elliptische Randwertprobleme, Elastizität und Hamilton‘sche Systeme. Unter anderem wurde das Plateau-Problem selbst auf allgemeinere Situationen ausgedehnt. Um 1937 bewiesen Courant und Douglas die analoge Aussage für beliebige Flächen, die in endlich viele einfach geschlossene Kurven eingespannt werden. Die für die klassische Riemannsche Geometrie zufriedenstellende Lösung wurde dann 1948 von Morrey gefunden, der das Plateau-Problem in allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeiten löste. Minimale Scheiben wurden damit zu einem grundlegenden Werkzeug der Riemannschen Geometrie.
Die von Douglas und Radó gefundene Abbildung zeichnet sich durch zusätzliche geometrische Eigenschaften aus: Sie minimiert nicht nur Flächeninhalt, sondern auch eine Form von kinetischer Energie und ist winkelerhaltend. Das Gleiche gilt für Morreys Verallgemeinerung. Bereits Gauss hatte erkannt, dass die intrinsische Krümmung einer Minimalfläche nach oben durch die Krümmung des umgebenden Raums beschränkt ist. Insbesondere sind im euklidischen Raum alle Minimalflächen intrinsisch nicht-positiv gekrümmt und erfüllen natürlich auch die isoperimetrische Ungleichung intrinsisch. Ein bemerkenswertes Resultat von Beckenbach und Radó beweist die Umkehrung: Jede Fläche, in der die isoperimetrische Ungleichung gilt, ist nicht-positiv gekrümmt (Abbildung 3). Dies ist überraschend, da die Krümmung mit der Divergenz von Geodätischen zusammenhängt. Die isoperimetrische Ungleichung involviert aber weder Abstände noch Geodätische, lediglich Längen und Flächen. Könnte dies ein erster Hinweis auf einen tieferen Zusammenhang sein?
Geometrie singulärer Räume
Viele natürlich auftretende Räume in der Mathematik, Physik und den angewandten Wissenschaften besitzen keine glatte Struktur und können nicht durch Riemannsche Mannigfaltigkeiten modelliert werden. Einfache Beispiele sind Räume mit Kanten oder Ecken, Netzwerke mit zahlreichen Verzweigungen, Konfigurationsräume physikalischer Systeme oder Singularitäten in der allgemeinen Relativitätstheorie. Die metrische Geometrie untersucht eine allgemeine Klasse von Räumen, in denen Geodätische dennoch definiert sind und Krümmungsschranken durch das Divergenzverhalten von Geodätischen ausgedrückt werden.
Diese synthetische Definition, die auf Alexandrov um 1950 zurückgeht, ermöglicht eine natürliche Verallgemeinerung der Riemannschen Geometrie. Spätestens durch die Arbeiten von Bruhat und Tits ist klar, dass insbesondere Räume mit oberen synthetischen Krümmungsschranken eine sehr reichhaltige Klasse bilden, unter anderem weil sie geometrische Modelle für Gitter in Lie-Gruppen über nicht-archimedischen Körpern bereitstellen. Heute weiß man, dass diese Räume in vielen Bereichen auftreten, darunter Gruppentheorie, Darstellungstheorie, Topologie, Robotik, Phylogenetik und Thermodynamik.
Die Geometrie metrischer Räume mit synthetischen Krümmungsschranken wird seit den 1990er Jahren intensiv untersucht. Anfangs standen vor allem topologische und vergleichsgeometrische Methoden im Vordergrund. Mit der Weiterentwicklung analytischer Techniken, vom klassischen Kontext differenzierbarer Mannigfaltigkeiten auf metrische Räume, wurden jedoch differentialgeometrische Argumente möglich.
Bahnbrechend war 2017 die Lösung des Plateau-Problems in allgemeinen metrischen Räumen durch Lytchak und Wenger [1]. In einem metrischen Raum ohne weitere Bedingung kann eine minimale Scheibe völlig irregulär sein. Erstaunlicherweise verhalten sich minimale Scheiben in nicht-positiv gekrümmten Räumen praktisch so gut wie in euklidischen Räumen [2]. Ihre Struktur wird durch die Singularitäten im Wesentlichen nicht beeinflusst. Das macht sie zu einem wertvollen Instrument der metrischen Geometrie.
Mit Hilfe von Minimalflächentheorie konnte die Verbindung zwischen Krümmungsschranken und der isoperimetrischen Ungleichung geklärt werden: Ein metrischer Raum ist einfach zusammenhängend und nicht-positiv gekrümmt genau dann, wenn er die isoperimetrische Ungleichung erfüllt. Der Beweis wurde zunächst für lokal kompakte Räume erbracht [3], was insbesondere endlich-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten einschließt, und dann in voller Allgemeinheit gezeigt [4]. Diese uneingeschränkte Äquivalenz stellt eine grundlegende Verbindung von Geometrie und Analysis dar.
