Max-Planck-Institut für Mathematik

Max-Planck-Institut für Mathematik

Von den Grundlagen der Computerwissenschaft bis zur Stringtheorie und der Theorie der schwarzen Löcher, von der exakten Ortsbestimmung in GPS-Systemen bis zur sicheren Verschlüsselung von Bankdaten: die Technologie der heutigen Welt beruht auf ausgefeilter Mathematik. Aber in all diesen und zahllosen anderen Beispielen ist die Mathematik, die eingesetzt wird, aus Überlegungen in der theoretischen Mathematik hervorgegangen – die Anwendungen kamen erst später und meist überraschend. Um derartige Grundlagenforschung geht es den Wissenschaftlern des Max-Planck-Instituts für Mathematik. Sie entwickeln die Geometrie und Topologie, die sich als eine flexible Version der Geometrie verstehen lässt, die Zahlentheorie und Analysis – Gebiete, die seit Jahrhunderten bestehen, aber stets neue Erkenntnisse liefern und unerwartete Verbindungen zueinander und zu anderen Wissenschaften aufweisen.

Kontakt

Vivatsgasse 7
53111 Bonn
Telefon: +49 228 402-0
Fax: +49 228 402-277

Promotionsmöglichkeiten

Dieses Institut hat eine International Max Planck Research School (IMPRS):
IMPRS for Moduli Spaces

Darüber hinaus gibt es die Möglichkeit zur individuellen Promotion bei den Direktoren und Forschungsgruppenleitern.

Für manche ist die Mathematik nichts weiter als eine Ansammlung abstrakter Formeln und trockener Rechenrezepte. Nicht so für Friedrich Hirzebruch, den Gründungsdirektor des Max-Planck-Instituts für Mathematik in Bonn: Er war der Schönheit des Fachs schon in seiner Jugend erlegen. Als „Nestor der deutschen Nachkriegsmathematik“ machte Hirzebruch die Stadt am Rhein zu einem Anziehungspunkt für Forscher aus aller Welt.
Johann Sebastian Bach, Le Corbusier und Maurits Escher: Die Mathematik hat viele Künstler beeinflusst. Aber auch der Mathematik selbst wohnt Schönheit inne. Unser Autor jedenfalls ist fest davon überzeugt und begeistert sich für deren Kürze, Schlichtheit, Klarheit und absolute Überzeugungskraft ihrer Argumentationen und Ideen.
Aus völlig abstrakten Strukturen entwickeln Mathematiker neue Theorien und Modelle, mit denen sich konkrete Eigenschaften der realen Welt präzise fassen und beschreiben lassen.
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Borcherdsprodukte

2017 Kaiser, Christian
Mathematik
Nach einer Einführung in die elliptischen Modulformen betrachten wir Borcherdsprodukte als singuläre Thetalifte auf orthogonale Gruppen. Schliesslich diskutieren wir eine Charakterisierung von Borcherdsprodukten mittels Symmetrien. mehr

Quantenmechanik auf Graphen

2016 Mnev, Pavel
Mathematik
Wir diskutieren das Zählen von Pfaden, die entlang der Kanten eines Graphen verlaufen, als ein stark vereinfachtes Modell für das Feynmansche Pfadintegral in der Quantenmechanik. mehr

Diophantische Gleichungen

2015 von Känel, Rafael; Matschke, Benjamin
Mathematik
Wir stellen einige klassische Diophantische Gleichungen vor und erläutern, wie geometrische Ideen helfen können, deren Lösungen zu untersuchen. Insbesondere betrachten wir einige Meilensteine des Gebiets der Diophantischen Gleichungen, einschließlich Faltings' Lösung der Mordellvermutung und Wiles' Beweis des Großen Satzes von Fermat. Zusätzlich stellen wir ein aktuelles Projekt am MPIM Bonn vor, welches Methoden von Faltings und Taylor-Wiles kombiniert, um das klassische Problem voranzutreiben, alle Quadratzahlen und Kubikzahlen mit vorgeschriebener Differenz zu finden. mehr

Deformationen von Blätterungen

2014 Vogel, Thomas
Mathematik
Wir diskutieren Anwendungen der 3-dimensionalen Kontakttopologie auf den Raum der Blätterungen durch Flächen. Ohne weitere geometrische Forderungen an die Blätterungen besteht der Raum der Blätterungen aus mehreren Zusammenhangskomponenten. Mit Methoden der algebraischen Topologie ist es einfach zu entscheiden, wann zwei gegebene Blätterungen in der gleichen Zusammenhangskomponente enthalten sind. Dagegen ist der Raum der straffen Blätterungen komplizierter. Wann zwei straffe Blätterungen in der gleichen Zusammenhangskomponente im Raum der straffen Blätterungen liegen, ist bisher kaum bekannt. mehr

Higgsbündel und Darstellungsvarietäten

2014 Swoboda, Jan
Mathematik
Wir diskutieren den Modulraum der Lösungen von Hitchins Selbstdualitätsgleichungen und dessen Zusammenhang mit Darstellungsvarietäten. Anschließend werden neuere Resultate über das Degenerationsverhalten von Lösungen für große Higgsfelder vorgestellt. mehr

Kurven zählen - alt, neu und verfeinert

2013 Göttsche, Lothar
Mathematik
Das Zählen von algebraischen Kurven auf Flächen ist ein klassisches Thema der algebraischen Geometrie, das durch die Stringtheorie aus der Physik wieder ins Zentrum des Interesses gerückt wurde. Nach einer kurzen Einführung in die enumerativen Invarianten von Kurven wird eine Verfeinerung betrachtet: statt einer Zahl erhält man ein Polynom. Es hat Beziehungen zu Invarianten der reellen algebraischen Geometrie und der tropischen Geometrie. mehr
Wir geben einen Einblick in die Welt der Spiegelungsgruppen, Coxeterguppen, Liegruppen and Kazhdan-Lusztig-Polynome. mehr

Deformationsquantisierung und die Formel von Kontsevich

2012 Rossi, Carlo Antonio
Mathematik
Nach einem kurzen Vergleich der kommutativen, klassischen Observablenalgebra in der Hamiltonschen Mechanik mit der nichtkommutativen Observablenalgebra in der Quantenmechanik wird eine algebraische Prozedur (Deformationsquantisierung) eingeführt, die die Quantisierung mathematisch beschreibt: Insbesondere wird die universelle Formel von Kontsevich im Detail erklärt. Am Ende werden einige (offene) Probleme in Bezug auf Deformationsquantisierung diskutiert, von denen einige am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn betrachtet und gelöst wurden. mehr

Konstanten in der Arithmetik: Perioden und ihre Relationen

2012 Raum, Martin; Raum, Sven
Mathematik
Perioden sind eine Klasse von Zahlen, die in der Zahlentheorie eine besondere Rolle einnehmen. Ein wichtiger Teilaspekt sind Gleichheiten zwischen unterschiedlichen Darstellungen von Perioden. Diese lassen sich für L-Werte detaillierter untersuchen als für viele andere Beispiele. mehr

Dualität von C*-Algebren

2011 Schneider, Ansgar
Mathematik
C*-Algebren sind in Physik, Mathematik und in deren Grenzgebiet zentrale Strukturen. Am MPIM in Bonn suchen Mathematiker nach Verbindungen zwischen C*-Algebren und anderen mathematischen Strukturen. mehr

Geometrie im tropischen Grenzfall

2011 Ilia Itenberg, Grigory Mikhalkin
Mathematik
Komplex-algebraische Varietäten werden zu einfachen, stückweise linearen Objekten, wenn man zu ihrem sogenannten tropischen Grenzwert übergeht. Die Geometrie solcher Grenzwertobjekte nennt man tropische Geometrie. Es wird anhand einiger einfacher Beispiele das Korrespondenzprinzip zwischen klassischer und tropischer Geometrie erklärt. mehr
Es werden motivische L-Funktionen eingeführt und die Vermutungen von Deligne und Beilinson über ihre Werte an ganzzahligen Punkten diskutiert. Wichtige Beispiele sind die Riemannsche Zetafunktion und die L-Funktionen elliptischer Kurven. Es wird ein von Boyd entdeckter mysteriöser Zusammenhang zwischen den Werten von L-Funktionen elliptischer Kurven bei s=2 und logarithmischen Mahler-Maßen erklärt. mehr

Offene Bücher und ihre Anwendungen

2010 Vogel, Thomas
Mathematik
Offene Bücher sind Zerlegungen von Mannigfaltigkeiten, die zum Beispiel für die Konstruktion von Blätterungen geeignet sind. Wichtige neue Anwendungen haben Zerlegungen in offene Bücher in der Theorie der Kontaktstrukturen gefunden. mehr

"Multiplizität 1 " Sätze in der Darstellungstheorie

2009 Aizenbud, Avraham; Gourevitch, Dmitry
Mathematik
Eine wichtiges Problem in der Darstellungstheorie ist, "was passiert mit einer irreduziblen Darstellung, wenn man sie auf eine Untergruppe einschränkt?" Für gewöhnlich wird die Darstellung reduzibel, und es stellt sich die Frage, ob sie in lauter verschiedene Darstellungen zerfällt. Dieser Bericht erläutert diese Fragestellung und skizziert einen erst kürzlich gefundenen Beweis dafür, dass über lokalen Körpern die Antwort für das Paar (GL(n+1),GL(n)) positiv ist. mehr
Folgen, die durch Rekurrenzrelationen bestimmt werden, sind seit Fibonacci bekannt und treten z.B. in der Zahlentheorie und beim Lösen von Differentialgleichungen auf. Der Artikel beschreibt wieso speziell geformte Billardtische Rekurrenzrelationen geben, deren Folgenglieder unerwartete Ganzzahligkeitseigenschaften haben. mehr

q-Reihen und Modulformen

2008 Zagier, Don
Mathematik
Es werden q-hypergeometrische Reihen diskutiert anhand dreier Beispiele: Mockthetafunktionen, "Charaktere" rationaler konformer Feldtheorien und die Witten-Reshitikhin-Turaev Invariante der ikosahedralen Sphäre von Poincaré. mehr

Arithmetik und Arakelov Geometrie

2008 Durov, Nikolai
Mathematik
Es ist das Ziel dieses Aufsatzes, eine sehr informelle Einführung in die Welt der arithmetischen Geometrie, insbesondere der Arakelov Geometrie, zu geben. mehr
Das Ziel dieses Artikels ist eine Übersicht verallgemeinerter Dreiecksungleichungen in symmetrischen Räumen und ihre Anwendung in der Darstellungstheorie zu geben. mehr
Aus einem Polygon in der Ebenemit zusätzlichen Symmetrien kann man geschlossene Flächen zusammenkleben. Auf dem Raum aller solcher Flächen wirken zwei Flüsse. Statistische Eigenschaften der Flächen unter der so entstehenden Deformationen stehen in enger Beziehung zu statistischen Eigenschaften der Operation der Abbildungsklassengruppe. mehr
Die Geometrie studiert Geodäten in verschiedenen Situationen, insbesondere auch auf hyperbolischen Flächen. Die Verteilung der Geodäten auf arithmetischen hyperbolischen Flächen führt zu Erkenntnissen über die Arithmetik von quadratischen Formen, einem wichtigen Zweig der Zahlentheorie. mehr

Renormalisierung als Galois-Symmetrie

2006 Marcolli, Matilde
In den sechziger und siebziger Jahren des letzten Jahrhunderts entwickelten Physiker Verfahren, den in der Quantenfeldtheorie auftretenden Unendlichkeiten endliche Werte zuzuordnen (Renormalisierung). Wir erklären neuere Arbeiten von Connes-Kreimer und Connes-Marcolli, die ein konzeptionelles Verständnis dieser Verfahren liefern und unerwartete Zusammenhänge zur Zahlentheorie andeuten. mehr

Die multiplikative Ordnung

2005 Moree, Pieter
Mathematik
Das Konzept der multiplikativen Ordnung ist sehr alt und hat seit der Zeit von Fermat viele Mathematiker interessiert. Es spielt eine Rolle in vielen verschiedenen Zweigen der Mathematik. Wir werden einen kurzen Überblick über die Geschichte der Forschung in diesem Bereich geben bis hin zu neueren Arbeiten, die die Verteilung der Ordnung bezüglich Restklassen betreffen. mehr
Die Theorie der dynamischen Systeme liefert eine wirkungsvolle Methode um unterschiedliche Probleme von Planetenbahnen bis hin zur klassischen Zahlentheorie zu untersuchen. Indem Einsiedler, Katok und Lindenstrauss in ihren neuesten Arbeiten Methoden aus der Theorie der dynamische Systemen benutzen, erzielen sie wichtige Fortschritte zur Lösung einer klassischen Vermutung der Zahlentheorie. mehr

Nichtkommutative Geometrie und Zahlentheorie

2004 Marcolli, Prof. Matilde
Mathematik
Nichtkommutative Geometrie ist ein moderner Zweig der Mathematik, der Anfang der achtziger Jahre von Alain Connes ins Leben gerufen wurde. Sie stellt mächtige Werkzeuge zur Verfügung, die es ermöglichen, ``quantisierte'' Räume zu untersuchen. Anders als imFall gewöhnlicher Räume sind ihre Koordinatenalgebren nichtkommutativ und können daher Phänomene wie die Heisenbergsche Unschärferelation in der Quantenmechanik modellieren. mehr

Abbildungen zwischen Sphären

2004 Baues, Hans-Joachim; Jibladze, Mamuka
Mathematik
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