Knotenkunde im Flüssigkristall

12. August 2011

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Anknüpfungspunkte für Knoten: Links: In einem einfachen nematischen Flüssigkristall umgibt die Defektlinie das Silikonkügelchen wie ein Rettungsring. Rechts: In einem so genannten chiralen nematischen Flüssigkristall ist dieser Ring wie ein verbeulter Fahrradreifen verbogen. Aus mehreren dieser verdrillten Defektlinien lassen sich Knoten erzeugen. [weniger]

Anknüpfungspunkte für Knoten: Links: In einem einfachen nematischen Flüssigkristall umgibt die Defektlinie das Silikonkügelchen wie ein Rettungsring. Rechts: In einem so genannten chiralen nematischen Flüssigkristall ist dieser Ring wie ein verbeulter Fahrradreifen verbogen. Aus mehreren dieser verdrillten Defektlinien lassen sich Knoten erzeugen.

© Miha Ravnik

© Miha Ravnik

Knoten sind allgegenwärtig: vom gewebten Stoff, über die zahlreichen Seemannsknoten bis hin zu ewig verhedderten Strom- und Verlängerungskabeln und der kompliziert verknoteten DNA. Selbst Kinder lernen beim Schuhe-Anziehen schon früh, ihre ersten Knoten zu beherrschen – lange bevor sie Lesen und Schreiben können. Aus mathematischer Sicht lassen sich Knoten, die auf den ersten Blick völlig verschieden aussehen, ein und derselben Klasse zuordnen. Entscheidend ist, dass sich diese Knoten durch einfache Verformungen in einander überführen lassen. Einfachstes Beispiel ist ein Gummiband. Jede Form, zu der sich das Gummiband verknoten lässt, ohne es aufzuschneiden und wieder zusammenzufügen, ist aus mathematischer Sicht mit dem unverschlungenen Gummiband äquivalent. Einen völlig anderen Knoten hingegen stellt etwa der Dreiblatt-Knoten dar. Dieser lässt sich nicht ohne Weiteres aus einem geschlossenen Gummiband erzeugen. Und natürlich lassen sich aus mehreren Schlaufen, die in einander verschlungen sind, noch deutlich komplexere Gebilde schaffen.

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Eine einfache geschlossene Schlaufe lässt sich nicht in einen Dreiblatt-Knoten überführen. Man müsste sie dazu erst... [mehr]

Eine einfache geschlossene Schlaufe lässt sich nicht in einen Dreiblatt-Knoten überführen. Man müsste sie dazu erst aufschneiden und wieder zusammenfügen. [weniger]

Eine einfache geschlossene Schlaufe lässt sich nicht in einen Dreiblatt-Knoten überführen. Man müsste sie dazu erst aufschneiden und wieder zusammenfügen.

© MPI für Dynamik und Selbstorganisation

© MPI für Dynamik und Selbstorganisation

Doch trotz dieser mathematischen Ordnung im Knoten-Wirrwarr bleibt die Frage, ob es zu jedem Knoten, der theoretisch denkbar ist, auch ein Gegenstück in mikroskopischen, natürlichen Systemen gibt. In seiner jüngsten Studie hat Uroš Tkalec nun ein System gefunden, in dem sich komplexe Knoten gezielt erzeugen lassen: mikroskopische Silikonkügelchen innerhalb einer kaum dickeren Flüssigkristallschicht, die von zwei Glasplatten begrenzt wird. Solche Flüssigkristalle bilden auch die Grundlage von LCD-Bildschirmen.

„Die Glasplatten wurden zuvor so präpariert, dass sich die Moleküle des Flüssigkristalls parallel zu ihnen ausrichten“, erklärt Tkalec. Ein einzelnes Silikonkügelchen, dass in diese Schicht hineinkommt, stört die Ordnung empfindlich: Um die Kugel herum bildet sich ein ringförmiges Gebiet, in dem sich keine Vorzugsrichtung mehr erkennen lässt. Wissenschaftler bezeichnen solche linienförmigen Störungen als Defektlinien. Da der Defektring Licht anders reflektiert als seine Umgebung, lässt er sich leicht aufspüren. „Es sieht aus, als sei jedes Kügelchen von seinem eigenen Rettungsring umgeben“, beschreibt Tkalec den Anblick. Dabei sind diese Rettungsringe senkrecht zu den begrenzenden Glasplatten orientiert. Bestückt man die  Flüssigkristallschicht nun mit mehreren Kügelchen, lassen sich diese mit Hilfe eines Lasers wie mit einer Pinzette gezielt „zusammenschieben“ und in Reihen anordnen. Dort, wo die Ringe aneinander stoßen, vereinigen sie sich dann zu komplizierteren Linien, welche die aufgereihten Kugeln umspielen.